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函数的间断点知多少? 精选

已有 11065 次阅读 2017-7-8 20:41 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

函数是微积分研究的主要对象,最早提出函数概念的是莱布尼兹,不过他的定义有点模糊不清,后来莱布尼兹的学生贝努利将函数定义为“由某个变量及任意的常数结合而成的量。”这个定义是说函数应该能用一个式子来表示,它显得太狭义了,我们可以把它称之为函数概念发展的第一个阶段。欧拉把函数定义为:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数。”欧拉认为:“函数是随意画出的一条曲线.”大家对欧拉的定义有些不习惯,总觉得不用代数式表示的函数有些怪异,于是把可以用公式表示的函数称为“真函数”,不能用公式表示的函数称为“假函数”。最接近现代定义的函数概念是柯西给出的,他把函数定义为:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数。”这个定义与后来早期中学课本里的定义几乎是一样的。虽然此后仍然有一些数学家提出了新的见解,例如罗巴切夫斯基、狄里克莱都先后定义过函数概念。不过我觉得在所有这些定义中,柯西的定义最能反映函数的本质,狄里克莱的定义明确提出了函数与自变量之间有一个对应法则,的确改进了柯西的定义。这个时期可以称为函数概念发展的第二个阶段。十九世纪后半叶,康托尔的集合论出现了,人们又赋予函数新的定义,这就是现在中学课本里使用的定义,即利用集合之间的对应关系定义函数。这个时期可以称为函数概念发展的第三个阶段。

微积分能处理的函数是性质相对比较好的函数,虽然黎曼积分并非像非数学专业的教材《高等数学》那样赋予函数有界性限制,但黎曼积分的定义本身就对函数有了很强的要求,如果函数长得太丑就可能不可积了。判断函数的美丑需要先赋予一个标准,这个标准就是其连续的程度。换句话说,如果一个函数黎曼可积,它可以有多少间断点?这个问题曾是大家十分关心的问题,微积分自身是解决不了的,充其量只能讨论一些特殊的函数,给不了一般性结论,直到伟大的勒贝格积分出现后才能彻底搞清楚这个问题。

函数的间断点是一个很有意思的问题,数学家们围绕着这个问题绞尽脑汁构造了很多病态却很神奇的函数,其中之一便是狄里克莱函数。相信学过微积分的人都知道什么是狄里克莱函数,具体地说,它在有理点处取值为1,无理点处取值为0,这是个极其病态的函数,你画不出它的图像,只能通过示意图显示,它处处间断。估计大多数非数学专业的同学对这个怪物只了解这么多了。其实换一个角度看,狄里克莱函数也有它乖的一面,它既是个周期函数,又是个偶函数,还可以用解析式的极限来表示。如果把它放在实分析里,它简直乖得不得了,它是一类函数的特殊情形,这类函数是构成一般可测函数的基石:特征函数。不过它的周期与别的周期函数有所不同,在中学讲周期函数的周期时通常指函数的最小正周期,例如,y=sinx的最小正周期是2π,所以我们就说该函数的周期是2π,虽然2kπ(k是整数)都是它的周期。然而,狄里克莱函数却没有最小的正周期。所以以后别再跟人争论什么周期一定指最小正周期了,没那回事。

如何用代数式表示狄里克莱函数呢?可能有点出乎你的意外,它竟然是三角函数的极限:

D(x)=limk→∞limn→∞[cos(k!πx)]2n

这里暂且卖个关子,谁能证明这件事?

 狄里克莱函数是个极端的例子,间断函数的另一个极端例子是只有一个间断点的函数,这类函数中有一个家伙鼎鼎大名,它不仅在数学上意义重大,在电路工程中也时常能见到它的身影,这货就是著名的赫维赛德(Heavside)函数。它是指当x>0时为1,x≤0时为0的函数。这个函数的物理模型在现实生活中随处可见,例如,当你打开家中电器开关的一瞬间将有电流通过,电器便开始运转了,这就是赫维赛德函数的典型物理模型。有人要质疑我了,都说数学是物理世界的模型,你咋反过来说?这有什么奇怪呢?数学家坐在家里闭门造车玩出来的东西一旦在现实中找到它的实例,谁能说这个实例不是数学的模型?或许叫原型更合适(当然我并不是说赫维赛德是个数学家,事实上,他应该是一个工程师)。如果能找到很多实例与数学家的这个东西类似,就可以反过来把数学家的发明称为某类现象的数学模型了。

 关于赫维赛德函数也有一个很有意思的问题:当你打开开关的一瞬间,电流强度是多少?它给我们什么启示?后者也许根据常识就能得出结论,但电流强度的计算却不是微积分能解决的,因为电流强度是关于电量的导数,如果你能独立自主地想到解决问题的办法,你跟索伯列夫一样伟大。

  两个伟大的人分别发明了两个极端的函数,处于“中间地带”的间断函数都长成啥样?有限个间断点的函数不难构造,能不能构造出具有无穷多间断点但并非处处间断的函数?这样的函数很多,例如单调函数就可以有无穷多个间断点,而且还是黎曼可积的,证明同样需要一点微积分之外的知识。还有一个函数也有无穷多个间断点,但它并非单调函数,这就是以最伟大数学家的名字命名的函数:黎曼函数。不过千万别与玄论里涉及的黎曼ζ-函数(黎曼猜想)混为一谈,它俩不搭嘎。黎曼函数没那么高深,它是指这样的函数R(x),当x是无理数时,R(x)=0,当x=q/p(既约分数)时,R(x)=1/p,这个函数在有理点间断,无理点连续,看上去与狄里克莱函数是不是有点像兄弟?但它俩的秉性完全不同,黎曼函数是一个乖巧的可积函数,狄里克莱函数则要比黎曼函数调皮得多,只有勒贝格才能对付它。

 数学给人的初步印象很严肃、很古板,但你一旦了解了她,会觉得它颇有点妙趣。




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