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全局尺度与局部尺度 精选

已有 3798 次阅读 2021-2-21 10:38 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记

 

在经典理论中,有两类运动规律的表达方式:1)以积分方程为代表的全局尺度表达;2)以微分方程为代表的局部尺度表达。现有的理论体系总是向我们证明:由积分运动方程可以导出微分运动方程。同时,也努力地证明,微分运动方程可以等价为积分运动方程。

       最为典型的是哈密顿积分方程(最小作用量原理)。一个很自然的哲学思辨是:物质运动的基本规律是表现为积分方程?还是微分方程?在传统的思维模式中,两者是等价的。论证两者等价是变分法。在20世纪70年代,这个观点是主流观点。

       但是,对于哈密顿积分方程的深入研究导出的研究结论却是:积分方程等价于给出一个超曲面几何结构,从而微分方程只是在这个几何结构下是正确的。

       在抽象理性意义上:全局尺度下的运动规律决定了局部尺度的运动规律。这个结论的延伸意义上:局部规律的微分运动方程必须是张量表达,而张量对应的几何结构要由全局尺度的运动规律来确定。

       虽然对于哈密顿系统的这个理性解释目前只是限于抽象理论界,而且还没有成为普遍性的共识,也谈不上有具体的工程应用,但是,这个思想体系却是21世纪抽象理论研究的主流方向。

       我们目前能够看到的是:多尺度---成为很多研究的修饰性定语。这类研究的特点是:研究在多个尺度下的微分局部远动规律。其缺陷是:尺度间的关系设定是假设性的,而不是由积分方程表达的全局规律来约束的。

       工程上,一个取巧性的研究方法(近似法)是:用叠加在大尺度的微分方程解上的扰动来得到所需要的局部尺度解。实质上,这是变分法的延伸性应用。表面上看这是数学求解技巧,但是由于在本质上符合21世纪抽象理论研究结论,从而其近似的正确性是客观的。

       总的来看,抽象理论的发展方向与工程实际使用方法的发展方向是协调的。主观上,我们之所以认为抽象理论远离工程应用是由于我们缺乏对于科学理论的全局性的哲学性思辨。

       实际上,在20世纪的科学理论哲学大辩论中,一个论点是:建立在宏观大尺度平直时空下的微分运动规律,在推广到微观时空时,是否表现为弯曲时空下的微分运动规律?如果是,则这种时空弯曲就是由于运动本身产生的。那么运动如何引起时空的弯曲?

       在大辩论的半个多世纪以后,我们看到的是:抽象理论着力于几何化表达的哲学思想基础实际上源于这场大辩论。“大尺度的平直时空,局部尺度的弯曲时空”实质上是大辩论的最终结论。

       就具体的工程应用而言,流体力学界对于湍流的研究实质上这个辩论结论的具体体现。

       工程上,在计算技术普及以后,积分方程是作为检验局部解的总体是否合理的依据。随着积分方程在不同尺度上被作为检验局部解的判据,在实质性意义上,是要在求解微分方程解的同时,也求解积分解。在逻辑上,要求所得到的解在局部尺度和全局尺度上都是合理的。

       目前,在教科书层次:主流的论述是关于平直时空下的微分运动规律的论述,基本上没有关于局部弯曲时空下的微分运动规律的论述。而就学科理论性专著而言,缺乏由全局性尺度运动规律导出局部尺度弯曲时空运动规律的推演性理论论述,抽象研究的研究成果还没有被具体学科所应用。

       因此,具体的学科实际上有了创新性变革的工程需求和当前抽象理论研究成果的支撑。可以预期的是:学科理论的变革将在21世纪普遍性的出现。它的历史轨迹可以概括为:变分法(平直时空解+局部弯曲时空解)---多尺度解(平直时空解和弯曲时空解的耦合关系)---弯曲时空下的一般解---理论变革(弯曲时空的系统性理论体系)。

       对于我国学者而言,这是一个历史性的机遇。



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