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特殊函数会热起来吗?

已有 1559 次阅读 2017-7-16 11:41 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记

 

       与常用的简单函数不同,特殊函数是用二阶微分方程来定义的函数。多数是源于拉普拉斯方程的分离变量解法。我国多次再版的书是:王竹溪,郭敦仁(编著)的《特殊函数概论》(科学出版社)。

       在工程类问题研究中,一旦是与球坐标系、柱坐标系、椭球系等曲线系下的二阶偏微分方程打交道,几乎无可避免的要把解写为特殊函数的形式。

       特殊函数的典型特点是级数函数展开表达,以及各级数函数项间的递推公式。对于这类函数表达的解,我们很难有直观的图象。所以我们不喜欢此类函数。

       由于我们不喜欢此类函数,就尽可能的避免使用这类函数。然而,随着计算技术的发展,特殊函数的应用反而是越来越普遍。这是因为,在计算技术发达后,用计算机快速完成级数项函数的求和是容易的。

       在计算机普及以前,特殊函数解的形式解意义大于实际工程解的意义,工程上一般也就是取前一、两项级数函数项,那当然只是近似了。

       20世纪的有限元法,有一个理念,就是足够小的微元,以及适当的边界微元的处理,能够实现高精度计算。但是,在随后的30年里,发现:对于有限元的几何处理,精度的提高不能通过增加有限元的数量来无限制的改善。

       理论上,级数的收敛和级数的近似并不是等价概念。在王竹溪,郭敦仁的书中,论述了:用渐近展开,近似程度一般不能通过增大n (级数的总项数)而无限制的改善。

而特殊函数级数解源于原始问题满足的微分方程,从而在计算结果的可靠性和精度上都表现优越。这样,特殊函数在计算上的普及应用就成为趋势。

       从趋势上看,21世纪的工程界将在应用特殊函数方面表现出高度的热情,从而大量的潮流性文章应该是用特殊函数求数值解。这就意味者,有限元法的单元函数(目前多数程序取线性,或是2次项函数,或是更高次的样条函数)将被修改为特殊函数。

       因此21世纪是特殊函数热,这类似于20世纪后半期的傅里叶函数热(拉普拉斯变换热,拉当变换热,勒让德变换热)。

 

 



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