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何为抽象理论?与经典理论关系为何?

已有 844 次阅读 2017-7-14 21:53 |个人分类:生活点滴|系统分类:科研笔记

 

       我老是谈抽象理论,博文的评论经常希望举例说明。考虑时间很长,现用下面的问题来论述之。

       有限厚度的任意弯曲板和壳,体积为何?

       第一类答案:V=AhA为面积,h为厚度。我们称这个答案为经典的直观答案。

       第二类答案:V=A(3h+3H1h2+H2h3)/3,式中H1为平均曲率,H2为高斯曲率。我们称这个答案为精确答案,要证明这个答案的普遍有效性需要使用抽象的代数几何理论(或微分几何理论)。

       对于固定的面积A,第一类答案V=Ah给出的是:体积与厚度成正比;这就是线性理论关系。

       第二类答案V=A(3h+3H1h2+H2h3)/3给出的是:体积是厚度的3次方多项式;这就是非线性理论。

把体积写为:V=Ah+[A3H1h2+H2h3)/3],就可以看出,线性理论与非线性理论的差别。在精度要求不高时,线性理论的直观答案是足够了。

对于给定的体积和面积,直观的线性理论给出的厚度为唯一值h。但是,精确理论给出的h值是一元3次方程的根,理论上有3个值。不是唯一的。

用简单的类比来说的话,第一类答案等价于经典理论,第二类答案等价于现代抽象理论。

       抽象理论的低阶近似就是经典理论。但是,由低阶近似的经典理论,并不能直接的得到抽象理论的结果,就是猜测也难于猜测到。

       这个例子也足以说明,为何抽象理论很广泛的受到批判和抵制。因为,在不加仔细思考时,直观上我们很容易否定第二类答案,它太出人意料了。

       从工程使用上,我们也不喜欢第二类答案,因为它需要H1H2参数,从而增加了需要单独测定的量。V=Ah多简单,多直接啊!

       这个问题出在,我们理所当然的知道对于任意弯曲板和壳,体积公式不会V=Ah那么简单,所以我们引入一个几何校正因子g,从而研究体积一般公式V=gAh。由于弯曲是多种多样的,而这个公式并没有普遍性,从而对每一类弯曲,都有不同的g=gV,A,h)值,也就是特例非常的多,结果是,这类研究可以写大量的论文,但是,总也得不到确定性的、明确解析的第二类答案V=A(3h+3H1h2+H2h3)/3。这是因为,用一个参数,无法在普遍性意义上带替实质上的2个参数。

       在流行的口头语传播中,很多不确切的说法是:抽象理论推翻了经典理论;或是,抽象理论是毫无必要的复杂化。

       我们这个案例想说明的是:抽象理论的低阶近似就是经典理论,从而两者间是学术继承的关系;直观上的矛盾或是显著差别源于对于高精度的追求,只要放弃对于高精度的追求,抽象和经典是等价的。

       但是,最为根本的问题是:我们几乎无法由经典“自动地”(或简单直接地)上升为抽象。只是限于经典的话,我们无法实现精确。在经典的理论框架内,即便是我们很聪明的引入一个校正因子,也与真实的精确公式相去很远。

       

 



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3 王安良 郭景涛 sunjian1016

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