曲率，定义为单位长度对应的转动角（起点切线与端点切线间的转动）。这个最为基本的概念是高斯几何理论的核心。

       太简单了，几千年前就知道，一个杆绕定点转动，其端点就形成圆弧。转角的基本定义就是这根杆前后位置的夹角。欧氏几何早就定义了这个概念。

       如果你生活在高斯的时代，你会如何看待高斯的曲率概念呢？不就是换个说法吗！

       直到今天，几乎在所有的本科教科书中，对于转动的解释依然是沿用欧氏几何的定义。从而，对于曲率的解释依然是采用欧氏概念。

       在教科书上，我们可以看到这样的两个经典体系：1）欧拉转动体系（刚体转动体系）。这是对欧氏几何转动概念的延伸，由平面转动延伸为3维空间的转动。2）复数体系（三角函数的代数扩展）。它是对刚体转动延伸，与欧拉转动不同的是，转动杆的长度是可随意变的。

       这两个转动概念是最为流行的。

       在现代体系中，有：3）转动是单位正交转动矩阵（幺变换）。其扩展理论是正交转动群。与绕定点转动概念的本质区别在于，继承了部分的高斯转动概念，不需要定义那个“定点”。4）高维空间扩展。群的正交变换，把被转动元素扩展为群。抽象化。

       在思想本质上，依然是欧拉转动体系和复数体系转动的扩展。

       一般的本科和研究生教科书，也就限于这个层次。学完后的感觉就是：没事找事。不就是形式化扩展吗！把简单问题复杂化。

       我经常想，为何教科书会采用这种论述路线呢？结论是：为了学生易于接受。用现在时髦的话讲，就是：为了学生！

       在这个体系下培养的学者会如何反对现代的转动概念呢？

       例1．高斯曲率。对于曲面，标准的写法是K²。欧拉体系及复数体系能解释曲面的曲率概念，但是不能理性的导出曲率概念。而要想理性的导出高斯曲率，就必须研究一大堆的微分几何理论。所以，能够解释与能够理性的导出之间的思想距离有多大呢？算是150年吧。

       把解释（当然也用数学形式）作为基础的书会解释：K的倒数是转轴半径。轻易的就消灭了高斯理论的核心（思想和理论推演），但是采用了高斯理论的结果！

       在科学上，用解释性代替理性的后果如何呢？难于论述平行位移的概念，也无法论述在3维直角空间上看是2个反向矢量的和在闭曲面意义上不为零。可以这样理解，反对相对论的人很多的就是出于用解释性代替了理性。

       例2．N维空间中的曲面曲率。标准的写法是K^N-1。还能用欧拉体系及复数体系能解释吗？依然是可以的！但是，理性的导出，这是现代抽象几何代数的内容。一般的微分几何教科书不介绍此类理论。

       正确的写法是，N维空间中的曲面有N-1个曲率，形式上分别为K, K², …, K^N-1。如果专著的作者写出所有的曲率，那基本上可以肯定这是正正经经的学者。但是，半吊子学者（赶时髦类）要回避一个实质性问题：这N-1个曲率各自的含义完全的不同。

       此时，严重的分岐就出现了：A）限于3维空间，不越出经典理论论域。回避矛盾和冲突。解释性理论依然能够有足够的回旋空间。

B）把这N-1个曲率置于抽象的等价地位！也就是，理性上，它们可以求直和。其扩展就是：这N-1个曲率相同的曲面是相等的。解释性理论彻底的失效，理性理论从而直接面对四面八方的批评和指责。

那么，教科书（含研究生教科书）会作何选择呢？基本上对B 不介绍。在这样的体系下，只解释性的介绍K^N-1。

我们问，把K, K², …, K^N-1置于同等地位的理性理论出现多少年了？就进入超一流大学的讲稿而言，大概是有30年了（如剑桥、哈佛）！

为何我前面有几篇博文（2016，9月）对于陈省身的理论没有在我国形成大的科研群体而感叹呢？因为，这条科学发展道路上，陈省身的研究算是一个小结点。

如果一个学者，在物理学或力学理论上，采用把K, K²置于同等理性地位的话，会有多少学者批判他呢？历史已经给出了答案！

总而言之，用解释性理论代替理性理论的优点是：易于接受，而且基本上能用上其导出的有“科学价值”的结论。缺点呢？这种解释性理论的普及将排斥对应的理性理论。所以，如果用解释性理论代替理性理论，则科学进步是极端困难的。

从高斯曲面理论建立，到把高斯理论推广到N维空间中的曲面，在思想上的曲曲折折是历史上科学进步曲折性的典型案例。