以前写过一篇博客，讲市面上关于“拐点”的滥用：把一阶导数等于零的“转向点”（即峰值点、或者低谷点）说成“拐点”。

“拐点”并非事情发展方向发生变化的点：发展方向没有变，只是发展的速率开始放缓。

y=-x^2, 最高点在x=0, y=0。但这是“转向点”（turning point），不是拐点——这个函数没有拐点！

y=x^3,  这个单调增长，永不下降的函数反而在x=0, y=0 处有一个“拐点”（inflection point），但是显然这个函数没有转向点。

今天微信里看到有人重发去年此时赵凯华先生在他九十寿诞时写的文章：

赵凯华：九旬畅谈物理教育（2020年5月25日，公众号：北大物理人）

有段话摘录到这里：

“本人写作此文时正值武汉疫情爆发，天天隔离在家在网上看新闻，其中经常展现疫情发展的曲线。人们关心何时出现曲线的拐点。拐点意味着什么？是疫情发展速度为0吗？非也，拐点是疫情发展速度最大的时刻，此刻加速度为0。经济学里有个难懂的概念，'边际效应(marginal utility)'，从数学的观点看，其实就是拐点效应：效益最大之时，即是效应衰减之始。”

这是“拐点”的正解！

对疫情的发展，总是拐点先到（数字还在上升，但是增速开始下降），然后才是转向点（最高点，数字本身开始下降）。去年一位著名医学专家说的：“预估二月中下旬达峰值，但不等于拐点已到”，其本意是让大家不要放松努力；但在数学上是不正确的——拐点之后才有可能达到峰值。