摘　要:在《前分析篇》[ 1 ]中,亚里士多德用大量篇幅讨论了模态三段论问题。亚氏模态三段论自成系统,可以尝试从现代逻辑的联合演算观[ 2～3 ]出发构筑这一系统①。
关键词:亚里士多德;模态三段论;形式系统
中图分类号: B815. 1 文献标识码:A　　文章编号: 1672 - 920X (2005) 01 - 0042 – 03


1　初始符号
1. 1　词项变元　a, b, c, ?? ai , bi , ci , ?? ( i= 1, 2, 3, ??)
1. 2　模态算子　◇, □
1. 3　逻辑联结词　┐, ∨
词项变元的语法符号用A, B, C, ??Ai , Bi ,
Ci , ? ( i = 1, 2, 3, ??) 表示。逻辑联结词和模态算子的语义解释同命题逻辑。
符号序列的语法符号用X, Y, Z表示。

2　形成规则

(1) │┐A ∨ B│, │┐A ∨ ┐B│, ┐│┐A∨ ┐B │, ┐│┐A ∨ B │是合式公式(直言公式) 。
(2) ◇│┐A ∨ B│, ◇│┐A ∨ ┐B│, ◇┐│┐A ∨ ┐B│, ◇┐│┐A ∨ B│是合式公式(模态公式) 。
(3) 如果X是合式公式,则┐X是合式公式。
(4) 如果X和Y是合式公式,则(X ∨ Y) 是合式公式。
(5) 只有符合以上四条的符号序列是合式公式。
合式公式的语法符号用α,β,γ, ??αi ,βi ,γi??( i = 1, 2, 3, ??)表示。

3　定　义

◇p定义为┐□┐p (p为命题变元的语法符号) ,合取( ∧) ,蕴涵( →)定义同命题逻辑。
4　公　理

4. 1　模态三段论公理
(1) ├ □│┐B ∨ A│∧ □│┐C ∨ B│→□│┐C ∨ A│ (30a 1 - 2)
(2) ├ □│┐B ∨ A│∧ │┐C ∨ B│→□│┐C ∨ A│ (30a 15 - 23)
(3) ├ │┐B ∨ A│∧ □│┐C ∨ B│→│┐C ∨ A│(30a 24 - 32)
(4) ├ ◇│┐B ∨ A│∧ ◇│┐C ∨ B│→◇│┐C ∨ A│ (33a 6 - 9)
(5) ├ ◇│┐B ∨ A│∧│┐C ∨ B│→◇│┐C ∨ A│ (33b 34 - 36)
(6) ├ │┐B ∨ A│∧ ◇│┐C ∨ B│→◇│┐C ∨ A│ (34a 34 - 35)
(7) ├ ◇│┐B ∨ A│∧ □│┐C ∨ B│→│┐C ∨ A│
(8) ├ □│┐B ∨ A│∧ ◇│┐C ∨ B│→│┐C ∨ A│
语法符号“├”的语义解释同命题逻辑。
4. 2　模态命题公理
(1) ├ □│┐A ∨ B│→ □┐│┐A ∨ ┐B│ (参见i〔18〕)
(2) ├ □│┐A ∨ ┐B│→ □│┐B ∨ ┐A│ (36a 10 - 12)
(3) ├ □┐│┐A ∨ B│→ □┐│┐B ∨ A│ (36a 10 - 12)
(4) ├ p → ◇p (36a 15)
4. 3　实然直言公理
├ │┐B ∨ ┐A│→│┐A ∨ ┐B│

5　变形规则

5. 1　代入规则　同命题逻辑。
5. 2　定义置换规则　同命题逻辑。
5. 3　三段论规则　从├α→β和├β→γ可得├α→γ。
5. 4　双重否定规则　由├ ┐┐α可得├α;由├α可得├ ┐┐α 。
5. 5　前提分解规则　由├α∧β→γ可得├α→(β→γ) 。
5. 6　前提合并规则　由├α→ (β→γ) 可得├α∧β→γ。
5. 7　换位规则
(1) 由├α∧β→γ可得├α∧┐γ→ ┐β,
(2) 由├α∧β→γ可得├β∧α→γ,
(3) 由├α→β可得├ ┐β→ ┐α。

6　定理的推演

6. 1　模态命题定理
(1) ├ □│┐A ∨ ┐B│→ □┐│┐A ∨ B│(参见i〔18〕)
(2) ├ ◇│┐A ∨ B│→ ◇│┐B ∨ A│
(3) ├ ◇│┐A ∨B│→ ◇┐│┐B ∨ ┐A│(39a 15 - 17)
(4) ├ ◇┐│┐A ∨ ┐B │→ ◇┐│┐B ∨┐A│(39a 30 - 35)
(5) ├ ◇│┐A ∨ ┐B│→ ◇┐│┐A ∨ ┐B│
(6) ├ □p → p
(7) ├ □p → ◇p
例　定理3 ├ ◇│┐A ∨ B │→◇┐│┐B∨ ┐A│
证明
1) ├ □│┐A ∨ B │→□┐│┐A ∨ ┐B │(公理4. 2. 1)
2) ├ □│┐A ∨ ┐B│→□┐│┐A ∨ ┐┐B│ (代入B / ┐B)
3) ├ □│┐B ∨ ┐A│→□│┐A ∨ ┐B │(公理4. 2. 2,代入A /B,B /A)
4) ├ □│┐B ∨ ┐A│→□┐│┐A ∨ ┐┐B│ (3, 2三段论)
5) ├ □│┐B ∨ ┐A│→□┐│┐A ∨ B │(双重否定)
6) ├ ┐□┐│┐A ∨ B│→┐□│┐B ∨ ┐A│(换位规则)
7) ├ ┐□│┐B ∨ ┐A │→┐□┐┐│┐B∨ ┐A│(双重否定)
8) ├ ┐□┐│┐A ∨ B │→┐□┐┐│┐B∨ ┐A│(6, 7三段论)
9) ├ ◇│┐A ∨ B│→◇┐│┐B ∨ ┐A│(定义置换)
证毕。
6. 2　模态三段论定理(举例)
定理1　第一格A II　├ □│┐B ∨A│∧□┐│┐C ∨┐B│→□┐│┐C ∨┐A│
证明
1) ├ □│┐B ∨ A│∧◇│┐C ∨ B│→│┐C ∨ A│(公理4. 1. 8)
2) ├ │┐C ∨ A│→◇│┐C ∨ A│ (公理4. 2. 4,代入p /│┐C∨A│)
3) ├ □│┐B ∨ A│∧◇│┐C ∨ B│→◇│┐C ∨ A│(1, 2三段论)
4) ├ □│┐A ∨ ┐B│∧◇│┐C ∨ A│→◇│┐C ∨┐ B│ (代入B /A,A /┐B)
5) ├ □│┐A ∨ ┐B│→ ( ◇│┐C ∨A│→◇│┐C ∨ ┐B│) (前提分解)
6) ├ □│┐B ∨ ┐A│→□│┐A ∨┐B │(公理4. 2. 2,代入B /A,A /B)
7) ├ □│┐B ∨┐A│→( ◇│┐C ∨ A│→◇│┐C ∨┐B│) (6, 5三段论)
8) ├ □│┐B ∨ ┐A│∧◇│┐C ∨ A│→◇│┐C ∨ ┐B│ (前提合并)
9) ├ □│┐B ∨┐┐A│∧◇│┐C ∨┐A│→◇│┐C ∨┐B│ (代入A /┐A)
10) ├ □│┐B ∨ A│∧◇│┐C ∨ ┐A│→◇│┐C ∨ ┐B│ (双重否定)
11) ├ □│┐B ∨ A│∧┐◇│┐C ∨┐B│→┐◇│┐C ∨┐A│(换位规则1)
12) ├ □│┐B∨A│∧┐◇┐┐│┐C ∨┐B│→┐◇┐┐│┐C∨┐A│(双重否定)
13) ├ □│┐B ∨ A│∧□┐│┐C ∨ ┐B│→□┐│┐C ∨ ┐A│(定义置换)
证毕。
定理2　第二格EAE ├│┐B ∨ ┐A│∧ □│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│
证明
1) ├ │┐B ∨A│∧□│┐C ∨B│→│┐C∨ A│(公理4. 1. 3)
2) ├ │┐A ∨ ┐B│∧□│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│(代入B / A , A / ┐B)
3) ├ │┐A ∨ ┐B│→( □│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│) (前提分解)
4) ├ │┐B ∨ ┐A│→│┐A ∨ ┐B│ (实然直言公理)
5) ├ │┐B ∨ ┐A│→( □│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│) (4, 3三段论)
6) ├ │┐B ∨ ┐A│∧□│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│ (前提合并)
证毕。
定理3　第三格AA I ├ ◇│┐C ∨ A│∧│┐C ∨ B│→ ◇┐│┐B ∨ ┐A│
证明
1) ├ □│┐B ∨ A│∧◇│┐C ∨ B│→│┐C ∨ A│ (公理4. 1. 8)
2) ├ □│┐A ∨ ┐B│∧◇│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│ (代入B / A , A /┐ B)
3) ├ □│┐A ∨ ┐B│→( ◇│┐C ∨A│→│┐C ∨ ┐B│) (前提分解)
4) ├ □│┐B ∨ ┐A│→□│┐A ∨ ┐B│(公理4. 2. 2 , 代入A / B , B / A)
5) ├ □│┐B ∨ ┐A│→( ◇│┐C ∨A│→│┐C ∨ ┐B│) (4, 3三段论)
6) ├ □│┐B ∨ ┐A│∧◇│┐C ∨ A│→│┐C ∨ ┐B│ (前提合并)
7) ├ ◇│┐C ∨ A│∧□│┐B ∨ ┐A│→│┐C ∨ ┐B│ (换位规则2)
8) ├ ◇│┐C ∨ A│∧┐│┐C ∨ ┐B│→┐□│┐B ∨ ┐A│(换位规则1)
9) ├ ◇│┐C ∨ A│∧┐│┐C ∨ ┐B│→┐□┐┐│┐B ∨┐A│ (双重否定)
10) ├ ◇│┐C ∨ A│∧┐│┐C ∨ ┐B│→◇┐│┐B ∨ ┐A│(定义置换)
证毕。
定理4　第二格E IO ├ □│┐B∨┐A│∧◇┐│┐C∨┐A│→┐│┐C∨B│
证明
1) ├ □│┐B ∨ A│∧│┐C ∨ B│→□│┐C ∨ A│ (公理4. 1. 2)
2) ├ □│┐B ∨ ┐A│∧│┐C ∨ B│→□│┐C ∨ ┐A│ (代入A /┐A)
3) ├ □│┐B ∨ ┐A│∧ ┐□│┐C ∨ ┐A│→ ┐│┐C ∨ B│ (换位规则1)
4) ├ □│┐B ∨┐A│∧ ┐□┐┐│┐C ∨┐A│→ ┐│┐C ∨B│(双重否定)
5) ├ □│┐B ∨┐A│∧ ◇┐│┐C ∨┐A│→┐│┐C ∨ B│ (定义置换)
证毕。


注释:
①本系统中的词项变元均不为空类,亚式实然三段论系统应是本系统的真子系统。

参考文献:
[ 1 ]苗力田. 亚里士多德全集(第一卷) [M ]. 北京:中国人民大学出版社, 1990.
[ 2 ]卢卡西维茨. 亚里士多德的三段论[M ]. 北京:商务印书馆, 1981.
[ 3 ]希尔桕脱,阿克曼. 数理逻辑基础[M ]. 北京:科学出版社, 1985.
[ 4 ]马雷. 论联合演算对传统推论学说的系统化处理[ J ]. 南
京大学学报(哲学社会科学版) , 1994 (1).
[ 5 ]马雷. 联合演算在处理传统推论学说中存在的若干问题评析[ J ]. 华东师范大学学报(哲学社会科学版) , 1994(6).
[ 6 ]马雷. 联合演算对传统直言推论的系统化[ J ]. 皖西学院学报, 2002 (2).
[ 7 ]马雷. 联合演算何以可能? [ J ]. 淮阴师范学院学报,2003 (3).
[ 8 ]马雷. 亚里士多德模态三段论的化归[ J ]. 黄冈师范学院学报, 2003 (2).
[责任编校:罗季重]

该文原载《合肥学院学报》（社会科学版）2005.3,Vol.22,No.1,p.42-44.