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线性光学笔记(15):角谱衍射理论(二)

已有 8505 次阅读 2013-9-25 02:20 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,角谱,衍射,传递函数,傅里叶变换| 傅里叶变换, 衍射, 线性光学, 传递函数, 角谱

这一节我们用平面波展开的方法来求衍射系统的传递函数。


通过傅里叶变换,在 $z=0$ 处的场强 $U$ 可以表示为平面波的叠加:

$U(x,y,0) = \iint^\infty_{-\infty} A(f_X,f_Y;0)e^{i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} f_X\,\mathrm{d} f_Y,$

其中,

$A(f_X,f_Y;0) = \iint^\infty_{-\infty} U(x,y,0)e^{-i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y.$

平面波的传播方向可以用波矢 $\vec{k}$ 的方向余弦 $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ 来表示,其各分量满足如下关系:

$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1.$

因为这里涉及的是空间坐标,所以在频率空间里自变量 $f_X$ 、 $f_Y$ 代表的是空间频率。和平面波函数 $e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}$ 相比较,我们可以得到空间频率 $f_X$ 、 $f_Y$ 和波长、传播方向的关系:

$\alpha = \lambda f_X, \quad \beta = \lambda f_Y, \quad \gamma = \sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}.$

所以, $A(f_X,f_Y;0)$ 也可以表示为

$A\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda};0\right) = \iint^\infty_{-\infty} U(x,y,0)e^{-i2\pi\left(\frac{\alpha}{\lambda} x+\frac{\beta}{\lambda} y\right)}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y,$

$A\left(\frac{\alpha}{\lambda},\frac{\beta}{\lambda};0\right)$ 被称作 $U(x,y,0)$ 的角谱(angular spectrum)。

用类似的方法,在位置 $z$ 我们也可以把 $U$ 按平面波展开:

$U(x,y,z) = \iint^\infty_{-\infty} A(f_X,f_Y;z)e^{i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} f_X\,\mathrm{d} f_Y,$

其中,

$A(f_X,f_Y;z) = \iint^\infty_{-\infty} U(x,y,z)e^{-i2\pi(f_X x+f_Y y)}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y.$

根据 LSI 系统的性质, $A(f_X,f_Y;z)$ 和 $A(f_X,f_Y;0)$ 可以通过传递函数 $H(f_X, f_Y)$ 联系起来:

$A(f_X,f_Y;z) = H(f_X, f_Y) A(f_X,f_Y;0).$

为了求解 $H(f_X, f_Y)$ ,我们将 $U(x,y,z)$ 表达式代入亥姆霍兹方程,可以得到

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}z^2}A(f_X,f_Y;z) + k^2(1-\alpha^2-\beta^2)A(f_X,f_Y;z) = 0.$

这是一个简单的常微分方程,容易得到它的解为

$A(f_X,f_Y;z) = A(f_X,f_Y;0) e^{ik\sqrt{1-\alpha^2-\beta^2}z} \quad (\alpha^2+\beta^2<1).$

当 $\alpha^2+\beta^2>1$ 时,该方程的解为衰逝波,我们在这里不讨论这种情况。于是,传递函数可以表示为

$H(f_X, f_Y) = \begin{cases} e^{i\frac{2\pi}{\lambda}z\sqrt{1-(\lambda f_X)^2-(\lambda f_Y)^2}}& \left(\sqrt{f_X^2+f_Y^2}<\frac{1}{\lambda}\right),\\ 0& \left(\sqrt{f_X^2+f_Y^2}>\frac{1}{\lambda}\right). \end{cases}$





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