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线性光学笔记(12):基尔霍夫衍射理论

已有 7530 次阅读 2013-9-4 04:14 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,衍射,基尔霍夫理论| 衍射, 线性光学, 基尔霍夫理论

现在,我们考虑一个常见的衍射问题:在一个无穷大的不透光的屏上有一个小孔(如下图所示),光从屏的左边入射,那么屏右边任意点的光场分布是怎样的呢?



首先,我们来看看如何选择格林函数。从数理方程课本中很容易查到,自由空间里亥姆霍兹方程的格林函数为

$G = \frac{1}{4\pi}\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}},$

其中, $r_{01}=|\vec{r}_0-\vec{r}_1|$ 表示从 $P_0$ 点到 $P_1$ 点的距离。这正是基尔霍夫衍射理论中使用的格林函数。当 $P_1$ 点在界面 $S$ 上时,可以求得

$\frac{\partial G(P_1)}{\partial n} = \frac{1}{4\pi}\cos(\vec{n},\vec{r}_{01})\left(ik-\frac{1}{r_{01}}\right)\frac{e^{ikr_{01}}}{r_{01}},$

其中 $\cos(\vec{n},\vec{r}_{01})$ 表示从 $P_0$ 指向 $P_1$ 的矢量 $\vec{r}_{01}$ 和法线 $\vec{n}$ 之间夹角的余弦。

现在,我们来选择一个包含观察点 $P_0$ 的封闭曲面。如上图所示,我们选择的封闭曲面由紧邻衍射屏的一个平面( $S_1$ )和一个以 $P_0$ 为中心、 $R$ 为半径的球冠面( $S_2$ )共同组成。下面,我们分两部分来计算上一节“光的衍射”中最后衍射公式右边的积分。

1. 球冠面 $S_2$

当 $P_1$ 点位于球冠面 $S_2$ 上时,格林函数可以表示为

$G = \frac{1}{4\pi}\frac{e^{ikR}}{R},$

其方向导数

$\frac{\partial G}{\partial n} = \frac{1}{4\pi}\left(ik-\frac{1}{R}\right)\frac{e^{ikR}}{R} \approx ikG,$

其中约等号之后的部分为半径 $R$ 很大的情况下的近似值。在这种情况下,衍射公式右边积分可以表示为

$\iint_{S_2}\left(G\frac{\partial U}{\partial n}-ikGU\right)R^2\,\mathrm{d}\omega = \iint_{S_2}RG\left(\frac{\partial U}{\partial n}-ikU\right)R\,\mathrm{d}\omega,$

其中 $\omega$ 为立体角。在 $S_2$ 上,乘积 $RG$ 的绝对值是个有限值。如果条件

$\lim_{R\to\infty}\left(\frac{\partial U}{\partial n}-ikU\right)R = 0$

在各个角度上都得到满足,那么这个积分就随着 $R$ 的增大而趋于零。这个条件被称作索末菲辐射条件。容易证明,发散的球面波是满足索末菲辐射条件的,这正是我们处理这类问题时遇到的情况。所以,只要 $R$ 足够大,我们可以忽略曲面 $S_2$ 上积分的贡献。

2. 平面 $S_1$

我们这里使用基尔霍夫边条件:

  1. 在屏所在平面的透光区域内(上图中的 $\Sigma$ 区域),场强分布 $U$ 及其导数 $\partial U/\partial n$ 的值与没有遮光屏时一样;

  2. 在该平面不透光的部分( $S_1-\Sigma$ ),场强分布 $U$ 及其导数 $\partial U/\partial n$ 均为零。

在这样的边条件下,衍射公式变为

$U(\vec{r}_0) = \iint_\Sigma\left(G\frac{\partial U}{\partial n}-U\frac{\partial G}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} s_1.$

这便是基尔霍夫衍射理论下的衍射公式。




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