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线性光学笔记(11):光的衍射

已有 7368 次阅读 2013-8-12 23:29 |个人分类:科学笔记|系统分类:科研笔记|关键词:线性光学,衍射,格林函数| 格林函数, 衍射, 线性光学

前几节我们介绍了线性系统的基本理论,下面我们开始把它和光学系统联系起来。光学中一类重要的问题就是衍射。通常我们提到衍射,往往和小孔或者障碍物联系起来。其实,广义上来讲,衍射研究的是光从空间某一处到另一处的传播。我们从最简单的单色光入手,研究它在自由空间里的传播。

在第 1 节,我们已经介绍了电磁波的标量波动方程。下面我们就按照处理数理方程的一般方法,在一定边界条件下使用格林函数求解这个波动方程。

单色光可以表示为(参见第 2 节)

$u(\vec{r}, t) = U(\vec{r})e^{-i2\pi\nu t}.$


将上式代入第 1 节中提到的波动方程,我们就得到亥姆霍兹(Helmholtz)方程:

$(\nabla^2+k^2)U = 0,$
其中, $k=2\pi/\lambda$ 是波矢。

根据格林函数的定义,亥姆霍兹方程的格林函数 G 满足下面的方程:

$(\nabla^2+k^2)G = -\delta(\vec{r}_0-\vec{r}_1).$

其中, $\vec{r}_0$ 和 $\vec{r}_1$ 分别表示 $P_0$ 点和 $P_1$ 点的位置。 $P_0$ 点为待求解的观察点, $P_1$ 点为空间任意一点。

为了从格林函数 G 得到 U 的表达式,我们需要用到格林第二公式:

$\iiint_V\left(U\nabla^2G-G\nabla^2U\right)\,\mathrm{d} V = \iint_S\left(U\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial U}{\partial n}\right)\,\mathrm{d}S,$

其中 S 是包围着区域 V 的封闭界面, U 和 G 是空间坐标的复函数, $\partial U / \partial n$ 、 $\partial G / \partial n$ 是沿曲面 S 外法线方向的方向导数(如下图所示)。




将亥姆霍兹方程代入格林第二公式,我们可以得到

$\iiint_V\left\{U\left[-\delta(\vec{r}_{01})-k^2G\right]+G(k^2U)\right\}\,\mathrm{d} V_1 = \iint_S\left(U\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial U}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} S_1,$

$-\iiint_V\delta(\vec{r}_0-\vec{r}_1)U\,\mathrm{d} V_1 = \iint_S\left(U\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial U}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} S_1,$

利用 $\delta$ 函数的性质,

$U(\vec{r}_0) = \iint_S\left(G\frac{\partial U}{\partial n}-U\frac{\partial G}{\partial n}\right)\,\mathrm{d} S_1.$

上面方程中的角标 1 表示微积分运算的对象是 $P_1$ 点。

从上式我们可以看出,在无源的情况下,包含在一定区域内的任意一点的场强,可以通过该区域边界上场强的积分来确定

有一点提醒大家注意:上面的推导其实是有一点问题的,因为格林公式要求函数的二阶导数连续,而格林函数 G 显然不满足这个条件。这来源于 $\delta$ 函数的特殊性质。还有一种做法是,以 $P_0$ 点为中心挖去一个小球,在小球面和边界之间的区域使用格林公式,然后让小球半径趋于 0。对这种方法感兴趣的读者,可以参考 Goodman 的《傅里叶光学导论》。由于 $\delta$  函数的定义已经包含了取极限的部分,所以我们这里采用的推导方法在形式上更简单一些。

到目前为止,我们还没有涉及格林函数的具体形式。下面我们将讨论不同形式的格林函数对于方程解的影响。



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1 杨华磊

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