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[转载]全排列生成算法:next_permutation

已有 2981 次阅读 2010-8-17 11:20 |个人分类:程序设计|系统分类:科研笔记|文章来源:转载

概念
全排列的生成算法有很多种,有递归遍例,也有循环移位法等等。但C++/STL中定义的next_permutation和prev_permutation函数则是非常灵活且高效的一种方法,它被广泛的应用于为指定序列生成不同的排列。本文将详细的介绍prev_permutation函数的内部算法。
按照STL文档的描述,next_permutation函数将按字母表顺序生成给定序列的下一个较大的排列,直到整个序列为降序为止。prev_permutation函数与之相反,是生成给定序列的上一个较小的排列。二者原理相同,仅遍例顺序相反,这里仅以next_permutation为例介绍算法。
先对序列大小的比较做出定义:两个长度相同的序列,从两者的第一个元素开始向后寻找,直到出现一个不同元素(也可能就是第它们的第一个元素),该元素较大的序列为大,反之序列为小;若一直到最后一个元素都相同,那么两个序列相等。
设当前序列为pn,下一个较大的序列为pn+1,这里蕴藏的含义是再也找不到另外的序列pm,使得pn < pm < pn+1。
 
问题
给定任意非空序列,生成下一个较大或较小的排列。
 
过程
根据上述概念易知,对于一个任意序列,最小的排列是增序,最大的为减序。那么给定一个pn要如何才能生成pn+1呢?先来看下面的例子:
设3 6 4 2为pn,下一个序列pn+1应该是4 2 3 6。观察第一个序列可以发现pn中的6 4 2已经为减序,在这个子集中再也无法排出更大的序列了,因此必须移动3的位置且要找一个数来取代3的位置。在6 4 2中6和4都比3大,但6比3大的太多了,只能选4。将4和3的位置对调后形成排列4 6 3 2。注意,由于4和3大小的相邻关系,对调后产生的子集6 3 2仍保持逆序,即该子集最大的一种排列。而4是第一次移动到头一位的,需要后面的子集为最小的排列,因此直接将6 3 2倒转为2 3 6便得到了正确的一个序列pn+1。
下面归纳分析该过程。假设一个有m个元素的序列pn,其下一组较大排列为pn+1:
若pn的最后的2个元素构成一个最小的增序子集,那么直接反转这2个元素使该子集成为减序即可得到pn+1。理由是pn和pn+1的前面m-2个元素都相等(没有对前面的元素进行操作),仅能靠最后2个元素来分出大小。而这2个元素只能出现2种排列,其中较大的一种是减序。
若pn的最后最多有s个元素构成一个减序子集,令i = m - s,则有pn(i) < pn(i+1),因此若将pn(i)和pn(i+1)调换必能得到一个较大的排列(不一定是下一个),因此必须保持pn(i)之前的元素不动,并在子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(m)}中找到一个仅比pn(i)大的元素pn(j),将二者调换位置。此时只要得到新子集{pn(i+1), pn(i+2), ..., pn(i), ...,pn(m)}的最小排列即可。注意到新子集仍保持减序,那么直接将其反转即可得到最小的增序子集。
按以上步骤便可从pn得到pn+1了。
 
复杂度
最好的情况为pn的最后的2个元素构成一个最小的增序子集,交换次数为1,复杂度为O(1),最差的情况为1个元素最小,而后面的所有元素构成减序子集,这样需要先将第1个元素换到最后,然后反转后面的所有元素。交换次数为1+(n-1)/2,复杂度为O(n)。这样平均复杂度即为O(n/2)。
 
C++/STL实现
view sourceprint?
01
#include 
02
#include 
03
#include 
04
using namespace std;
05
//主函数,算法详见相关说明
06
int main(void) {
07
    //循环处理输入的每一个字符串
08
    for (string str; cin >> str;) {
09
        if (str.empty()) {
10
            continue;
11
        }
12
        //如果字符串只有1个字符,则直接输出结束
13
        if (str.length() <= 1) {
14
            cout << "No more Permutation" << endl;
15
        }
16
        //iPivot为右边最大减序子集左边相邻的一个元素
17
        string::iterator iPivot = str.end(), iNewHead;
18
        //查找右边最大的减序子集
19
        for (--iPivot; iPivot != str.begin(); --iPivot) {
20
            if (*(iPivot - 1) < *iPivot ) {
21
                break;
22
            }
23
        }
24
        //如果整个序列都为减序,则重排结束。
25
        if (iPivot == str.begin()) {
26
            cout << "No more Permutation" << endl;
27
        }
28
        //iPivot指向子集左边相邻的一个元素
29
        iPivot--;
30
        //iNewHead为仅比iPivot大的元素,在右侧减序子集中寻找
31
        for (iNewHead = iPivot + 1; iNewHead != str.end(); ++iNewHead) {
32
            if (*iNewHead < *iPivot) {
33
                break;
34
            }
35
        }
36
        //交换iPivot和iNewHead的值,但不改变它们的指向
37
        iter_swap(iPivot, --iNewHead);
38
        //反转右侧减序子集,使之成为最小的增序子集
39
        reverse(iPivot + 1, str.end());
40
        //本轮重排完成,输出结果
41
        cout << str << endl;
42
    }
43
    return 0;
44
}


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