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会下楼的软弹簧 精选

已有 4737 次阅读 2020-10-19 20:11 |系统分类:科普集锦

在二战结束的1945年,美国一位名叫詹姆斯 (James, R.T.) 的海军工程师在做试验时,不留心将一根拉紧的软弹簧掉在了地上。他惊奇地发现,这根弹簧竟会不停地翻跟斗从一个台阶翻到下一个台阶。他将弹簧带回家试了多次,突发灵感,何不将这弹簧做成一个有趣的玩具。新玩具被他的妻子命名为 slinky,这个出自瑞典文的名词意为鬼鬼祟祟。因为弹簧的下楼动作十分诡异,很像一个人蹑足下楼时两条腿的交替移动。新玩具于1946年首次在费城的商场里亮相,400个 slinky 弹簧竟在90分钟内被抢购一空。1947年他为新玩具申请了发明专利,从那时起全世界出售的 slinky 弹簧已超过3亿个[1](图1)。1999年美国邮政发行纪念100个美国偶像的邮票里,slinky 弹簧作为上世纪美国发明的著名玩具也光荣地跻身在内。这个软弹簧玩具在我国也很风行,曾获得过 “机灵鬼” 的俏皮中文译名。后来涂上鲜艳的彩色,改成了更好听的 “彩虹圈” 名称


slinky.jpg

彩虹圈


彩虹圈是一个极其柔软的弹簧,通常用细金属丝或扁矩形断面的塑料制成,图2给出了供参考的几何数据。彩虹圈的弹簧刚度大约是普通弹簧的百分之一,不受力时所有的螺圈都相互接触,因此只能拉伸不能压缩。将弹簧的两个端面平放在双手的手掌上,将它弯成拱形,然后左右手交替上下移动,可以观察到螺圈自左至右或自右至左交替地急速翻滚。变幻的色彩如同天上美丽的彩虹,彩虹圈因此而得名。

彩虹圈最独特的本领是能自动下楼梯。将弹簧的两个端面分别置于楼梯不同高度的两级台阶上,放手以后弹簧的高处端部会突然跃起,弯曲,落到低处台阶,然后另一端部跃起,重复此过程,以翻筋斗的方式不停下降,直到楼梯的最底部才停止。

      彩虹圈2.jpg  彩虹圈1.jpg 

         图彩虹圈的参考数据                                            彩虹圈的受力图


要解释彩虹圈为何能自动下楼,需要做些力学分析。不失一般性,设弹簧左端的支承面高于右端。将弹簧划分为3个部分:弯成拱形的 B0,左端的短圆柱体 B1和右端的长圆柱体 B2(图3)。弹簧处于平衡状态时,B0两端作用的力偶 M和 M必须大小相等方向相反。两个反作用力偶 -M和 -M分别作用于 B1和 B2。地面对弹簧的约束是单面约束,只能产生使弹簧受压的法向约束力FN1FN2。将B0作用的重力W0视为左右两部分重力W0/2 之和,B1、B2作用的重力分别为 W和 W2则约束力 FN1 和 FN2 应满足

                                                  FN1 = W1 + W0/2FN2 = W2 + W0/2  

FN1 FN2 的作用线必须分别向右和向左偏离弹簧的中心线,与重力 W和 W构成力偶,方能与 -M和 -M互相平衡。设M力偶 M和 M的模,偏移距离 a和 a应满足

                                                       a1 = M / FN1  a2 = M / FN2

单面约束的法向约束力 FN1 和 FN2 必须作用在端面范围以内才可能存在。设弹簧的半径为 a,弹簧保持平衡的充分必要条件为

                                                                         a1 < aa2 < a

由于 W1 < W2FN1 < FN2,则 a1 > a2。随着两端高度差的增加,WFN1 不断减小,a随之不断增大,法向约束力 FN1 的作用点不断弹簧底部的边缘移动。当 a增大到与 相等时,作用点抵达边缘,左半部分的平衡即处于临界状态。只要 a稍稍超过 aFN1 即突然消失而解除约束。B左半部分立即向上跃起,受力矩 M的作用在空中顺时针向右旋转,同时朝反方向弯曲。一旦左端面越过 B2,即在重力作用下向下加速坠落,直到与下一级台阶表面接触,完成一级台阶的下降过程。在新的约束条件下,弹簧原来的左半部分转变为右半部分,右半部分转变为左半部分。继续此过程,弹簧可连续不断地下降到楼梯的最底部。下楼过程的动力来自重力所做的功。

若将楼梯的台阶去除,就转变成倾斜的坡道。基于相同的原理,彩虹圈在坡道上也会以翻筋斗的同样方式向下方移动。据网络报导,有网友出于好奇将彩虹放在跑步机的传送带上,后部垫高使传送带倾斜。传送带就成为一个无限延长永远走不到底的坡道。跑步机一开动,彩虹圈在传送带上就如同人的左右腿交替迈步走动起来[2]。于是彩虹圈能自动跑步的报导也就成为网络上热播的趣闻。

除了会下楼和会跑步,彩虹圈还有别的一些奇特现象。例如手执彩虹圈一端使其向下悬垂。突然松手,弹簧不会立即下落。其最下端会在空中保持片刻静止,同时上方各圈从顶端开始依次向下压缩弹簧,直至压缩到最下端后方开始下落。要解释此现象,可先观察一下悬垂的弹簧在重力作用下的间距变化(图4)。最上一圈弹簧因承受彩虹圈的全部重量,有最大的拉力和间距。然后往下递减,至最下端弹簧拉力减小到仅需与单个环的重力平衡。在松手的一刹那,失去支承力的最上圈被弹簧向下拉动产生最大加速度,往下加速度依次递减。以致各圈从顶端开始依次往下压缩。在压缩引起的弹簧间距变化传到最下圈以前,最下圈的初加速度和初速度均等于零,仍保持瞬间的静止状态。待短暂的压缩过程结束后,彩虹环方开始整体的自由落体运动。压缩过程中弹簧的重力与总质心下移产生的惯性力相平衡。

关于slinky弹簧,文献里还提出过一个有趣的 Spizzichino 问题:将一只 slinky 弹簧和一只重量相等的链条悬挂在天平的两端,底部贴近秤盘(图5)。将连接绳剪断,问弹簧与链条中哪一个落得更快先掉到秤盘上。参照以上对彩虹圈下落过程的分析,这问题的正确答案也就不难得出了吧!  


        彩虹圈3.jpg   彩虹圈4.jpg

                               悬垂的彩虹圈                                                    5  Spizzichino问题


    参考文献

[1]    https://baike.baidu.com/item/slinky/10667438?

[2] https://weibo.com/6192877242/UjWUty3A5?

(综合的两篇原文载于《力学与实践》,1996, 18 (3) : 70-72,及  2020, 42(3): 378-380




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