摘  要：本文从两方面讨论了相对论与几何学的关系。首先，相对论不是通过实验得到结论，而是借鉴欧几里德几何学的研究方法，从“假设”出发，然后通过探索性的演绎法推导出结论。其次，在狭义相对论中用到了欧氏几何和闵氏几何，在广义相对论中用到了黎曼几何。几何学的研究方法和物理的几何化思想成为研究相对论的有力工具。

关键词：相对论  几何学  假设  探索性的演绎法  物理的几何化思想

爱因斯坦一生中开创了狭义相对论、广义相对论、宇宙学和统一场论，他是量子理论的主要创建者之一，并做出了重大贡献。可以说20世纪物理学的三大贡献中，两个半都是爱因斯坦的。广义相对论则几乎是他单枪匹马一个人完成的，没有他的引路，这一步也许几十年都不会有人迈出。爱因斯坦为什么能够取得如此巨大的科学成就？中外学者都在研究这个问题，由于研究者的学科不同、学派不同，研究的结论也不尽相同。在这里我们仅从几何学角度作一些讨论。

1. 欧几里德几何学

毕达哥拉斯坚持数学论证必须从“假设”出发，然后通过演绎推导出结论，而不是通过度量和实验得到结论。欧几里德的《几何原本》创立了基于公理化体系的几何学，丰富多彩几何学中的每条定理都可以从这五条不言自明的公理(公设)推导出来。五条公理是：

‧由任意一点到另外任意一点可以画直线。

‧一条有限直线可以继续延长。

‧以任意点为心及任意的距离可以画圆。

‧凡直角都彼此相等。

‧同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

这五条简单的公设相互独立，也就是说，任何一条公设都无法从另外四条中推导出来。正是这五条简单的公设托起了欧几里德几何学的大厦。《几何原本》本是数学领域的大作，然而，这里面还有来自于数学却高于数学的思维方式。这一思维方式至今仍被奉为数学上必须遵守的严格规范，也成了建立任何知识体系的典范，可以广泛地应用到数学、自然科学乃至整个人类的知识领域。

2. 相对论与欧几里德几何学

1905年，是人类科学史上不同寻常的一年。这一年的3月到9月，短短的六个月间，年仅26岁的爱因斯坦发表了有关量子理论、狭义相对论和布朗运动等方面的5篇论文，从根本上改变了人类对自然的理解和观察世界的方式。

爱因斯坦所处的年代被称为是物理学“晴朗的天空漂着两朵乌云”。他清醒地认识到，当物理学的基础本身成问题的时候，“物理学家的批判性的思考就不可能只限于检查他自己特殊领域里的概念。如果他不去批判地考察一个更加困难得多的问题，他就不能前进一步。”他相信：“物理上真的东西”和“逻辑上简单的东西”“在基础上具有统一性”。爱因斯坦认为：“为了科学，就必须反反复复批判这些基本概念。” 归纳法可以归纳出结论，但不能归纳出新的基本概念。爱因斯坦明确地指出:“适用于科学幼年时代的以归纳法为主的方法，正在让位给探索性的演绎法。” 爱因斯坦意识到必须改变伽里略、牛顿从实验出发，归纳得到结论的研究方法，他借鉴了欧几里德公理化体系几何法，首先提出“假设”，再通过逻辑推理演绎得出相对论。

1) 狭义相对论

现象是事物的外部联系，可以为人的感官直接感知。爱因斯坦曾说，任何实验都没有真正对他有所帮助，只有通过思考麦克斯韦方程组与牛顿力学之间的显著矛盾，他才找到了正确的方向。从麦克斯韦方程组出发，在波动方程中真空光速c是以普适常量的形式出现的，但是从伽利略变换的角度看，速度总是相对于具体的参考系而言的。在经典力学中速度是不允许作为普适常量出现的。爱因斯坦相信“真理是离开人类而存在的”。他认为，绝对空间和绝对时间是人为的，应该摒弃旧的一套时空观，相对性原理应该具有普遍意义，电磁现象与力学现象应该一样。

爱因斯坦借鉴在欧几里德公理化体系几何学研究方法，将相对性原理和光速不变原理作为两条公设，即：

(1) 狭义相对论的相对性原理：在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。

(2) 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速具有相同的量值而与参考系无关。

本质是事物的内部联系，只有靠理性思维才能把握。爱因斯坦经过逻辑思辩、探索性的演绎法创立了狭义相对论。这两条简单的公设托起狭义相对论的大厦。演绎法是从一般的原理推知某个从属于该类事物的特殊事物的新知。演绎法的特点是过程抽象，但逻辑关系严密，结论有时会出人意料，因此狭义相对论出于简单而归于深奥。

在狭义相对论中，时间与空间不再是独立的，时间与空间是相互联系的，称为“时空”。在狭义相对论中，“同时”概念的是相对的，运动着的钟走慢了称为时间延缓效应，物体在运动方向长度收缩称为长度收缩效应。在狭义相对论中，质量是速度的函数，质量和能量是统一的，可将质量守恒定律和能量守恒定律统一为质量-能量守恒定律，简称为能量守恒定律。当狭义相对论洛仑兹变换中的速度u → 0 时，洛仑兹变换就退化为伽利略变换，可见，牛顿力学是低速运动中狭义相对论力学的近似。

2) 广义相对论

为什么惯性坐标系在物理学中比其他坐标系更为优越？为什么一切物体在引力场中下落都具有同样的加速度？为什么狭义相对论一用到引力场中就遇到了矛盾？现象不能脱离本质，现象是本质的外在表现。爱因斯坦认为还有许多问题狭义相对论没有解决。

爱因斯坦认识到，“在狭义相对论的框子里，是不可能有令人满意的引力理论的。” 他坚信自然界的和谐和统一。“在引力场中一切物体都具有同一加速度，这条定律也可以表述为惯性质量与引力质量相等的定律，它当时就使我认识到它的全部重要性。我为它的存在感到极为惊奇，并猜想其中必定有一把可以更加深入地了解惯性和引力的钥匙?”他假设可以用一个均匀加速的参照系来代替均匀引力场，1907年首次提出等效原理的假设，同时扩充了相对性公设，即广义相对性原理。他写道:“物理学的定律必须具有这样的性质，它们对于以无论那种方式运动者的参照系都是成立的。沿着这条道路，我们就达到了相对论公设的扩充。”托起广义相对论大厦的两条公设(原理)是：

(1) 广义相对性原理：对于表述各种物理规律来说所有的参考系都是等价的。

(2) 等效原理：引力场同参照系的相当的加速度在物理上完全等价。

他深入思考这一问题，花了十年时间才解决它。这十年间他狂热地研究、尝试、试错、困惑，有睿智的设想也有错误的想法，发表了一系列写有不正确方程的文章，还有更多的错误与压力。正如他自己讲的那样，历经“在黑暗中焦急地探索着的年代里，怀着热烈的想望，时而充满自信，时而精疲力竭，而最后终于看到了光明。” 最终在1915年他的杰作诞生了，这是本世纪物理学另一次大革命。“广义相对论包含了新的引力理论，在我们对宇宙结构的认识上开辟了新境界。”

爱因斯坦曾经明确指出：“在建立一个物理学理论时，基本观念起了最主要的作用。物理书上充满了复杂的数学公式,但是所有的物理学理论都是起源于思维与观念，而不是公式。” 可以说是《几何原本》中的公理化体系几何研究思想启迪了爱因斯坦的智慧，加速了狭义相对论和广义相对论的形成。

3. 物理的几何化思想

在狭义相对论中，用到了欧几里德几何，到1907年，闵可夫斯基意识到洛伦兹和爱因斯坦的工作可以在非欧几里德空间中得到最好的理解。他认为，以前被认为是独立的空间和时间在一个四维的“时空连续体”中可以耦合在一起，他创立了一种新的时空观，把三维物理空间与时间结合成四维时空（即闵可夫斯基时空，也被称为闵可夫斯基几何）的思想为爱因斯坦的相对论奠定了数学基础。在广义相对论中，用到了黎曼几何，生动地描述时空弯曲。在相对论中，物理的几何化思想得到了准确完整的表达。

4. 小结

现代物理学的发展史表明，科学的认识正是在批判原有的基本概念和建立新的基本概念的过程中发展起来的。科学家在实践中面对各种各样亟待解决的问题，不能墨守单一的认识论和方法论，需要用不同的思路和方法去灵活处理，才能收到事半功倍之效。爱因斯坦的视野决定了他的成就。

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