在铜氧化物高温超导机理研究中，赝能隙起源的研究占据着重要的地位。这是因为，不论是从理论推测还是实验观察来看，赝能隙现象与铜氧化物高温超导体中超导的发生，超导态的性质，以及正常态的非费米液体行为都有着密切的关系。

      关于赝能隙现象的起源目前理论界有如下几类看法。第一类是将其看作是超导涨落效应或电子预配对效应的配对能隙。第二类是将其看作由于某种与超导竞争的序参量或其涨落导致的电子散射的能带折叠能隙，例如反铁磁涨落，电荷密度波涨落等导致的折叠能隙。第三类是将其看作以上两种能隙的混合，例如配对密度波（PDW）能隙。第四类是将其看作某种Mott绝缘行为导致的电子能谱的类能隙特征，例如在一些关于Hubbard模型的动力学平均场计算中看到的带间态与上（或下）Hubbard带的间隔。按照我们此前对于热霍尔效应的分析，不论形成赝能隙的具体机制如何，这一现象一定与铜氧化物高温超导体中电子行为的局域磁矩-巡游准粒子特性的二元性密切相关。

     在铜氧化物高温超导研究早期，赝能隙这一概念被用来笼统地概括不同实验手段在欠掺杂区观察到一系列非常规现象，人们并不清楚这些现象之间是否存在内在联系或存在何种内在联系。由于这一原因，我们只能用一个模糊的过渡区（crossover region）来描述相图中赝能隙现象开始发生的位置。通过近十来年实验方面大量系统、深入的工作，人们对于赝能隙现象随温度和掺杂浓度的演化行为已经有了相当细致的把握。尤其是，在同一系列的样品上的系统研究为人们认识赝能隙现象的不同表现的相互关系，从而为在相图中确定赝能隙现象发生的确切位置提供了可能。例如在Bi-2201体系中，实验发现费米弧现象形成的温度正是铜位自旋核磁弛豫率达到最大值的温度（费米弧现象将是下一篇博文的主题）。同时人们发现，赝能隙现象的发生不仅对应于电子能谱的定量变化，还伴随着体系物理性质某些让人意想不到的定性变化，例如本篇博文将要涉及的现象以及此前分析的负的巨大的热霍尔效应。我个人认为，由于近十年来实验所取得的这一系列进展，铜氧化物高温超导研究已经到了可以系统地发展或者证伪关于赝能隙以及高温超导机理理论的阶段。

     本篇博文讨论Louis Taillefer 研究组在所谓的赝能隙终止点观察到一系列的反常现象，尤其是量子临界行为。此前人们普遍认为，赝能隙行为在过掺杂区域将连续过渡为正常的费米液体行为，并不存在确切的边界。同时，最佳掺杂x_opt（超导临界温度最高的掺杂浓度）是非费米液体行为最为显著的掺杂浓度。但是在2016年，Taillefer研究组发现，在强磁场导致的低温正常态中，铜氧化物高温超导体的霍尔浓度n_H随掺杂浓度x的变化在x=x*≈0.2附近发生从n_H∝x到n_H∝1+x的剧烈转折（见图1），而x*也正是赝能隙现象消失的位置（例如体系恢复完整的费米面）。

图1. Taillefer 研究组发现霍尔浓度n_H随掺杂浓度的依赖行为在x=x*处发生显著的转折，当x<x*时n_H∝x,而当x>x*时，n_H∝1+x。x*也正是赝能隙现象消失的位置（图片来自文献【1】）。

    通过对不同铜氧化物高温超导体系的测量，Taillfer研究组发现x*总是对应于体系的费米面由空穴型转变为电子型的转折点。也就是说，赝能隙现象能只能出现在空穴型的费米面上而从来不会出现在电子型的费米面上（见图2）

图2: 赝能隙现象似乎只能出现在空穴型的费米面而不是电子型的费米面上。更加仔细的分析表明，赝能隙的终止点总是与体系的费米面由空穴型向电子型转变的转变点重合（图片来自文献【2】）。

    上述实验结果表明，铜氧化物高温超导体的赝能隙现象关于掺杂浓度存在明确的终止点，而这个终止点正好是体系发生Lifshitz转变的掺杂浓度。那么究竟是什么原因导致赝能隙现象在x>x*时消失呢？为回答这个问题，Taillefer研究组对x=x*附近的物理行为进行了更加细致的探究。他们发现，在强磁场诱导的低温正常态中，电子线性比热系数在x=x*处表现出显著的量子临界行为（见图3），同时体系的直流电阻率也在x=x*处表现出最好的线性温度依赖关系，且由电阻率导出的准粒子散射率接近所谓的普朗克极限，即h/τ≈2πK_BT。类似的量子临界行为此前也曾在重费米子体系和铁基超导体系的量子相变点附近发现过。但这里非常不同的是，在x*处人们没有发现任何明确的量子相变的证据。例如，体系中的反铁磁有序和可能的电荷密度波有序都发生在远小于x*的掺杂浓度。x*处的临界行为究竟来自于哪里？这种临界行为为何伴随着赝能隙现象的发生呢？

图3: 强磁场导致的低温正常态中电子线性比热系数随掺杂浓度的变化行为在x=x*处表现出量子临界的特征。（图片来自文献【3】）

   早期的大量研究倾向于认为，最佳掺杂x_opt是铜氧化物高温超导体非费米液体行为的最为显著，同时也是赝能隙行为终止的掺杂浓度（例如Nagaosa-Lee理论中的相图）。Taillefer研究组在x=x*附近的一系列发现则提示我们，关于赝能隙起源和非费米液体行为研究重心也许应该转移到过掺杂区域的x*处。同时这些结果提示我们，赝能隙的起源与非费米液体行为直接相关，它们都发生在巡游准粒子的费米面拓扑结构由空穴型向电子型转变的转变点。Taillefer研究组的这一系列结果如果得到确认，将对高温超导机理理论的基本架构产生重要的作用。

   下面我们给出一个与Taillefer研究组的实验结果相自洽的可能的物理图像（参见文献【4】）。在这个图像中，铜氧化物高温超导体中电子的局域-巡游二元性扮演着关键的角色。唯象地，我们可以将体系中局域磁矩和巡游电子当作两种相互耦合但是独立的自由度。这可以看成是原始的单带Hubbard模型的某种低能有效模型，一般被称为自旋-费米子模型。在这个模型中，局域磁矩间具有强烈的反铁磁短程关联，但是在x=x*处已经远离磁性有序，处于量子无序状态。因此x*对于局域磁矩系统并没有特殊意义。相反对于巡游准粒子体系，x*却扮演着非常特殊的角色。这是因为，在x=x*处两件事情同时发生。第一，x*是费米面发生Lifshitz转变的转变点，因此也是准粒子态密度的Van Hove奇点。 第二， x*也是反铁磁散射造成的所谓费米面上的热点（hot spot）消失的掺杂浓度。更加具体地，当x<x*时，动量转移为(π,π) 的反铁磁散射将在费米面上产生热点，而当x>x*时，反铁磁散射造成的热点将不复存在。在x=x*处，Van Hove奇点与反铁磁散射的热点正好重合（参见图4）。需要说明的是，只考虑Van Hove奇点的效应并不足以解释x=x*处的电子比热反常（参见文献【3】）。

图4: 高温超导体的费米面以及反铁磁散射的热点随掺杂浓度的演化。图中从内到外的六个等能面对应的空穴掺杂浓度逐渐减小（或电子掺杂浓度逐渐增大）。热点（黑色圆点）对应于费米面与反铁磁布里渊区边界（黑色粗直线）的交点。蓝色等能面对应于x=x*的费米面。这时，热点与Van Hove奇点（0，π）重合。

      Van Hove奇点与反铁磁散射造成的费米面热点重合将导致巡游准粒子体系在反铁磁波矢Q=(π,π)上的磁性涨落被大大加强。图5给出了巡游准粒子体系在反铁磁波矢上的磁化率随x的变化。从图中可以看出，在x>x*时,巡游准粒子体系在反铁磁波矢上的磁化率将大大低于x<x*时。其背后的原因是，当x>x*时，反铁磁散射的造成的费米面热点不复存在。

图5: 巡游准粒子体系在反铁磁波矢上的磁化率随掺杂浓度的变化。在x>x*时，由于热点不复存在，其反铁磁磁化率将受到强烈抑止。

     对于巡游准粒子体系而言，反铁磁波矢并没有太多特殊含义。但是考虑到与巡游准粒子体系耦合的局域磁矩体系具有强烈的反铁磁短程关联之后，x*的特殊意义就很清楚了。更确切地，尽管局域磁矩体系在x=x*处远离磁性有序的不稳定性，但是由于它与一个在反铁磁波矢上具有发散的磁化率的巡游准粒子体系耦合，通过反馈放大，局域磁矩的低能反铁磁涨落将是发散的。这种发散的低能反铁磁涨落将造成非费米液体形式的准粒子自能。我们认为这是造成实验上在x=x*处观察到量子临界行为的物理原因。总而言之，x*对于孤立的局域磁矩体系没有特殊意义，同样，反铁磁波矢对于孤立的巡游准粒子体系也没有特殊意义，但是由于两者的耦合，x=x*处Van Hove奇点与反铁磁散射造成的费米面热点的重合将导致重要的物理后果。

   上述论证仍然只能提供一个可能的定性图像。这一模型是否能够真正解释实验观察到的电子比热反常，普朗克极限的准粒子散射率，以及霍尔系数在x=x*处行为的转折都有待于更精细的计算。但是需要说明的是，x=x*的体系是一个极端强耦合的体系，Van Hove奇点导致的有效质量发散以及Migdal定理的失效使得微扰理论的结果不足为信。为此我们必须发展更加强大的理论或计算方法。 作为一个简化理论的尝试，我们可以将Van Hove奇点（（π，0）和（0，π））附近的准粒子自由度当作低能物理中最重要的准粒子自由度，而忽略所谓nodal方向的准粒子自由度，从而构造如下的两带有效模型(见图6)。该模型的有效作用量为 S=S_ψ+S_φ，其中准粒子体系的作用量为

而局域磁矩体系的作用量为

图6: x=x*附近的一个简化两带模型的示意图。这里我们忽略nodal方向的准粒子自由度，将Van Hove奇点（π，0）和（0，π）附近的准粒子自由度（对应于蓝色和绿色圆圈所覆盖的区域1和区域2）当作是两个独立能带的自由度。 这两个带在局域磁矩的反铁磁涨落散射下相互耦合。    

    这个模型有如下两个有趣的特点。第一，两个Van Hove奇点附近的准粒子色散都是nematic的，尽管作为一个整体体系具有四方对称性。因此我们可以预期体系在x=x*附近的量子临界行为也将包含nematic的特征（尽管这不是主导的涨落沟道）。这一点似乎得到最近Raman测量的支持。第二，上述两带模型不会遭遇量子蒙特卡洛模拟的负符号问题，因此原则上其性质可以进行数值模拟。当然，由于在上述简化模型中我们忽略了nodal方向的准粒子自由度，这一模型无法描述体系的输运行为，例如直流电阻率和霍尔浓度随掺杂浓度和温度的变化行为。

    至此，我们为Taillefer研究组在x=x*附近观察到的奇异物理行为勾勒了一个可能的物理图像。按照这一图像，铜氧化物高温超导体的赝能隙现象和非费米液体行为都来自于巡游准粒子体系与具有强烈反铁磁短程关联的局域磁矩体系的耦合。有趣的是，就在本周，Taillefer研究组在arXiv上发布的一项新的实验结果（文献【5】）表明，铜氧化物高温超导体的磁阻行为也在x=x*处发生转折。他们发现，x>x*时的磁阻行为可以用费米液体图像很好地解释，而要拟合x<x*时的磁阻行为，他们发现一个最简单的办法就是假设体系的费米面由于受到波矢为（π，π) 的散射而产生了折叠。

注1：x=x*处的量子临界行为的另一种解释是拓扑相变，这种相变也不涉及对称性的自发破缺（参见Sachdev研究组的相关文献）。在这一解释中，短程反铁磁关联的局域磁矩体系也扮演了关键的角色。目前还不清楚这一解释与本文所讨论的物理图像有何种关系。

注2: 本文讨论了赝能隙现象随掺杂浓度演变的终止点附近的物理行为，下一篇博文将讨论赝能隙现象如何随温度的上升而终止，也就是讨论费米弧现象是如何消失或产生这一问题。

【1】S. Badoux, W. Tabis, F. Lalibert, G. Grissonnanche, B. Vignolle, D. Vignolles, J. Bard, D. A. Bonn, W. N. Hardy, R. Liang, N. Doiron-Leyraud, L. Taillefer, and C. Proust, Nature 531, 210 (2016). arXiv:1511.08162

【2】N. Doiron-Leyraud, O. Cyr-Choinire, S. Badoux, A. Ataei, C. Collignon, A. Gourgout, S. Dufour Beausjour, F.F. Tafti, F. Lalibert, M.-E. Boulanger, M. Matusiak, D. Graf, M. Kim, J.-S. Zhou, N. Momono, T. Kurosawa, H. Takagi and L. Taillefer, Nat. Comm. 8, 2044 (2017). arXiv:1712.05113

【3】B. Michon, C. Girod, S. Badoux, J. Kamark, Q. Ma, M. Dragomir, H. A. Dabkowska, B. D. Gaulin, J.-S.

Zhou, S. Pyon, T. Takayama, H. Takagi, S. Verret, N. Doiron-Leyraud, C. Marcenat, L. Taillefer and T. Klein,

 Nature 567, pages218–222(2019)218 (2019). arXiv:1804.08502.

【4】Tao Li, arXiv:1805.06395

【5】Y. Fang, G. Grissonnanche, A. Legros, S. Verret, F. Laliberte, C. Collignon, A. Ataei, M. Dion, J. Zhou, D. Graf, M. J. Lawler, P. Goddard, L. Taillefer, and B. J. Ramshaw, 2004.01725