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球面镶嵌和环面镶嵌

已有 4898 次阅读 2012-4-23 09:50 |个人分类:三旋理论学习|系统分类:科研笔记|关键词:球面镶嵌,环面镶嵌| 球面镶嵌, 环面镶嵌

和曾老师的讨论让我联想到之前的一个想法:
球面镶嵌问题的本质是:寻找空间角的平分方法。以三维空间中任意一点为中心做任意两条三维空间的射线,形成的角度,为空间的平面角。做三条射线会形成一个三棱锥,四条射线就是四棱锥。能否按什么样的相同的平面角构成的n棱锥来“平分”一个中心点向四周发散的空间呢?这便是球面镶嵌问题的本质。
 
联系最近所学的“流形”概念,球面可以是“平面”的流形。环面似乎也可以是平面的流形。
所以,一个“平面”的微分元,做什么样的“轨形”流动,就会得到不同的空间立体形状。(这么理解“轨形”这个词,对吗?)
显然,球面是“平面微分元”做正交的两个空间圆的轨形的流动得到。
而环面,也是“平面微分元”做正交的两个空间圆的轨形的流动得到,只是环面的第二个圆轨的中心,并不与第一个圆轨的中心重合(象球面那样),而正好是沿着第一个圆规流动的“流动中心”。
所以,环面是二元二层的圆轨流形,球面是二元一层的圆轨流形。
这里发明了“层”这个概念,以区别于“阶”,“次”的概念,“高层轨”是以“底层轨”为“流动中心”的“动轨”。
 
球面和环面的“不同伦”,其实,就是其轨形的“层数”不同而已。
庞加莱猜想的实质原来如此。
 
回到平面镶嵌问题。
在球面能够形成周期镶嵌的图形的各个顶点,投影到球心,必定是一个多平面角围成的了个“立体角”(棱锥的顶点)。
球面镶嵌的方案,实际对应球心“立体角”均分方案。而“双圆轨正交”对应的,正是“正方形”的镶嵌单元的方案。推而广之,正多边形的球面镶嵌方案,就会对应“多圆轨斜交”的轨形方案。所以,“怎样的立体角”按多少个相交的圆轨进行“旋转流动”才能完整地均分一个点的四周空间方向,便是球面正多边形镶嵌的实质。
终于找到这些问题的联系了。
 
环面镶嵌由于圆轨的层次和球面不同,所以,对应的均分角对象也会不同。环面镶嵌对应的轨形均分是:
1.第一圆轨的中心角均分,中心为一固定点,即圆轨的圆心。
2.第二圆轨的中心角均分,中心为第一圆轨的动点。
这对应环面的矩形镶嵌。
 
由此引申:多层的多圆轨流形,将会是一种怎样的纷繁复杂和奥妙无穷的景象啊!
多层多圆轨:每层的圆轨数不同,层次数也不断,均分,准均分,随机分,对应周期,准周期,非周期镶嵌。一定是极有意思的可进行知识探险的领域。


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1 汪梦雅

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