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从布尔逻辑到复逻辑和三态逻辑,再到全逻辑和立体逻辑

已有 7473 次阅读 2011-4-22 22:50 |个人分类:立体逻辑|系统分类:科研笔记| 立体逻辑, 布尔逻辑, 复逻辑, 三态逻辑, 全逻辑

1.布尔逻辑运算是算术运算的抽象

布尔逻辑代数如下:

值域:真,假。

基本运算符: 与,或, 非。

如果将值域对应到整数:

真  对应 1,假 对应 0,

基本运算对应到算术运算:

与 对应 乘;

加 对应 或

非 对应 用最大数减(求补)。

那么,逻辑运算就是算术运算的一个子集:

真 与 假 = 假   对应  1 X 0 = 0

真 与 真 = 真   对应  1 X 1 = 1  

真 或 假 = 真   对应  1 + 0 = 1

假 或 假 = 假   对应  0 + 0 = 0

非 假 = 真      对应  1 - 0 = 1

非 真 = 假      对应  1 - 1 = 0 

假若 把1可以理解是对全体的正整数的抽象,0只代表0,那么,在自然数上进行加,乘和求补运算,就被抽象为是布尔代数。


2.对复数算术运算进行逻辑抽象得到复逻辑

复数,形如: z = a + bi,其中a,b为实数,分别为实部和虚部。复数支持乘法,加法和求补的运算。

其中,a,b只取自然数,仍然满足复数运算规则。

进一步,将作为自然数的a,b进行如下抽象:

全体正整数抽象为1,0 还是 0,

那么,基于自然数虚实部的复数加法、乘法和求补运算就被抽象为一种逻辑运算。

也就是,a,b只取真,假值的布尔逻辑,于是,复逻辑产生:

真 + 真i,  真 + 假i, 假 + 真i, 假 + 假i成为四种复逻辑值。

按照复数运算规则,同样可以产生复逻辑数的与、或、非运算。(i^2 = -1)

如:  (真 + 真i) 与 (真 + 假i) 对应经抽象的复数运算 (1+i)X(1+0*i) = 1 + i

所以:

  (真 + 真i) 与 (真 + 假i) = 真 + 真i

类似可推导其他复逻辑的逻辑运算规则。


3.对全体整数的算术运算进行抽象得到三态逻辑

将负整数抽象为“缺真”,由 -1 表示;正整数抽象为“多真”,由 1 表示; 0 抽象为“假”

则,全体整数被抽象为  “缺真”、  “多真” 和   “假”三种逻辑态。

同理,整数上的乘、加和求补运算依然抽象为与、或、非运算。得到三态逻辑运算。推导过程略。

三态逻辑的基本运算法则可以认为是以布尔逻辑为正逻辑,以假(0)值为对称点,向负向对称镜像产生的“负逻辑”。

对于三态逻辑中的非运算,按照运算的镜像对称法则,应当扩展一种负逻辑的求补,作为“负非”运算。

负非运算如下:

  负非(缺真) = 假  整数运算为:-1 -(-1) = 0

  负非(假) =   缺真  整数运算为:-1 - 0 = -1

是否可以将逻辑数值进行“跨越镜面”的混合运算呢?应该是成立的,如下:

缺真 与 多真 =  缺真 对应的 整数运算为:-1 X 1 = -1  

缺真 或 多真 = 假 对应的 整数运算为:-1 + 1 = 0

负非(多真)=  缺真 对应的 整数运算为:-1 - 1 = -2 抽象回 -1      

非(缺真)=  多真 对应的 整数运算为:1 -(-1) = 2 抽象回1   

4.将三态逻辑和复逻辑合并叠加得到全逻辑

 也就是,将 z = a + bi,中的a,b取三态逻辑数,仍然可进行与或非运算。

用抽象的整数表示的逻辑值即:

a,b ∈{-1,0,1}

运算类型为 与、或、负非、非四种,对应算术算符:X,+, -1-(z)和1-(z).(z∈{-1,0,1})

用抽象过的算术表达如下:

逻辑数有:

-1-i, -1, -1+i,(a=-1,b=-1,0,1)

1-i,1,1+i, (a=1,b=-1,0,1)  

-i,0,i, (a=0,b=-1,0,1)

逻辑运算如下:

(-1-i)的与运算推导举例:

(-1-i)X (-1) = 1 + i   

(-1-i)X (-1+i) = 1 - i + i -(-1) = 2 = 1

(-1-i)X (1-i) = -1 + i - i + (-1) = -2 = -1

(-1-i)X 1 = -1 - i

(-1-i)X (1+i) = -1 - i - i - (-1) = -2i = -i  

(-1-i)X (-i) = i + (-1) = -1 + i

(-1-i)X 0 = 0

(-1-i)X i = -1i - (-1) = 1 - i    

类似地,可推导其它逻辑数的其他运算。相应地我们肯定可以找到对应的逻辑含义的理解。

5.将1维的整数轴扩展到二维的平面进行各种逻辑抽象得到平面逻辑

推广内容包括:

1.将"数轴布尔逻辑"(传统的布尔逻辑)扩展为"平面布尔逻辑".平面逻辑点(Bx,By),是对平面直角坐标的第1象限的抽象。

抽象为只有四点:

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。

按照整数运算规则,可找到平面逻辑运算的规则。

2. 将"数轴复逻辑"(复逻辑)扩展为"平面复逻辑",平面复逻辑点为(FBx,FBy)。

其中,FBx,FBy取复逻辑值,即  FBx,FBy(0,i,1,1+i)。

这里有必要理解一下“数轴复逻辑”就是之前提到的“复逻辑”,隐含的含义是:

通常的复数,只是与一维实数轴对应的复数,只是“一维的复数”,是:只在一维实数轴上取实部和虚部实数得到的复数。

其实,与二维实平面也可以对应有“二维的复数”。相应应该得到“二维的复数平面”(不是“复平面”),是两个“相互正交的复数数轴”形成的平面。与复平面是一种代数解析平面不同,复数平面是一种“复的几何平面”。

将复几何平面抽象的结果,就得到复逻辑几何平面。

实际上,复逻辑几何平面只包括如下的“点”:

(0,0),(0,i),(0,1),(0,1+i);

(i,0),(i,i),(i,1),(i,1+i);

(1,0),(1,i),(1,1),(1,1+i);

(1+i,0),(1+i,i),(1+i,1),(1+i,1+i);

3. 将"三态逻辑"扩展为"平面三态逻辑",平面三态逻辑点为(TBx,TBy)。是对平面直角坐标系的全部四个象限的几何三态逻辑抽象

抽象为只有9点:

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,-1),(-1,0),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)。

按照整数运算规则,可找到平面三态逻辑运算的规则。

4. 将"全逻辑"扩展为"平面全逻辑",平面全逻辑点为(HBx,HBy)。是对平面直角坐标系的全部四个象限的几何全逻辑抽象

叙述略。


6.将2维的各种逻辑抽象扩展到3维或更高维空间可得到高维的各种逻辑空间。

叙述略。或许可以作为留给数学家们去做的工作吧。


有谁完整地发现过这个体系吗?

这个体系正是我设想的立体程序的基础。

当然,我认为,此体系的发现的意义,远非如此,很多人又有活干了。


总结:整个关于连续数的数学体系,可以逻辑化抽象为逻辑学体系。

所以,逻辑学是数学的骨架之一,或者说,逻辑学是一种骨架数学。


附图:


1.从数量空间到逻辑空间的浓缩

 


2.一维全逻辑空间的由来



3.二维全逻辑平面


第3张附图没有将位置空间和数值空间剥离表达,容易引起误解,请参考改进表达:空间分布的数值属性的逻辑化压缩

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=33982&do=blog&id=436774

 

我对一维数轴的定义是:“一个数,按其大小顺序经历其所有可能的值,形成其一维的数值空间,也就是其一维的数轴”。吴老师请直接指出这个定义的哪里不对?




http://blog.sciencenet.cn/blog-33982-436304.html

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