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理解“同调”——计算共形几何学习笔记7

已有 981 次阅读 2020-7-15 07:22 |个人分类:计算共形几何笔记|系统分类:科研笔记| 同调, 同伦

连听了2节老顾的网课,这两节网课的核心概念就是同调的概念。

听完课的直觉就是,同调的概念和电磁场和电路中的很多知识总有那么一点似曾相识,却又说不出具体关系来。暂时能得到的理解只是:同调和同伦是类似级别的概念。

 

就以这个理解为基础拓展开来吧,看到底能不能想起来“同调”是哪个“老友”。

前面理解同伦的概念是:两个子空间按【相同的规则】在不同位置取自同一个父空间。所谓【相同的规则】,其实是指:曲线之间经过“扫描”或“平移”,而更一般地说,应该是经过“拓扑变换”,这些曲线可以完全重合,相互之间就是同伦的,同属一个同伦类。

 

说同调和同伦是类似级别的概念,意思就是只是将【相同的规则】换成另一个规则来对曲面上任意的圈来分类。理了解这个新的规则,就能理解同调概念。

 

新的规则就是:只考察曲面所有可能圈中的那些沿圈切开曲面后,会把曲面切出一个疤口的圈,而且把这些圈叫做边。那些沿孔洞内侧环表面的圈,切完只是条缝,没有疤口,仍叫圈。考察同调分类时,应忽略圈,只考察边。事实上,在考察同伦类时,也忽略了一种圈,就是曲面上能缩成一点的圈。

 

所以,同调的意思就很清晰了,所谓同调,就是指曲面上同类的边同调。考察曲面有哪些同调类,其实就是看这个曲面能割出多少种边来。问题就转换为边是按什么来分类的了。

 

在理解边怎么分类前,先对比理解【同伦的圈】和【同调的边】的几何意义。

同伦的圈,是向曲面内部看,看曲面能缩成一种什么样的“骨骨架”拓扑图;

同调的边,是向曲面外部看,看曲面能割出几种不同的对外的“接口”。

 

现在理解边是怎么分类的就很容易了:看割出来的边是否可互换,能互换,则同调,不能互换,则不同调,啥叫能互换,就是两个边,我随意割掉一个,从曲面的剩下的拓扑结构来看,你并不能区分我割的是哪一个,这也叫对称。


同调的这层窗户纸终于被我捅破。

也让我想起了两位老友,电场和电路的理论。

闭合曲线的电场的积分,得到的电势差为0,为啥?因为他们同调0

闭合电路的电势差积分也为0,说明电路是个电场的拓扑。

如果有了“空间立体电路”,那么,也可以得到闭合曲线的电场的积分不为0的同调群。

呵呵,结识新朋友,仿佛见到老朋友,真高兴。



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1 马德义

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