信息化的本质分享 http://blog.sciencenet.cn/u/Babituo

博文

理解“基本群”——计算共形几何学习笔记5

已有 1402 次阅读 2020-7-5 19:03 |个人分类:计算共形几何笔记|系统分类:科研笔记| 基本群

今天听了老顾的第二节网课:基本群概念。算是正式进入了理论学习。

第一个引起我理解障碍的描述,出现在老顾的教材P17页:

三维的洞,是因为曲面”嵌入”三维欧氐空间中产生的吗?换言之,就是问:“洞”是曲面与三维空间的相对关系,还是曲面自身内蕴的特性?

三维欧氏空间中画上一个曲面,如果曲面有闭合包围的圈,就会使三维空间出现孔洞。

"嵌入",按自然语言理解是镶嵌在其中的意思,在这里怎么理解呢?是上面的意思么?有没有专门的数学含义所指呢?

因为对“换言之”里的“相对关系”和“内蕴”的确切含义也把握不准,所以,还得看能不能再换一种能理解的说法。

自己根据能自己能找到的“理解”,再换言之一下:


按正常理解,曲面是三维空间中的一群分布点的选择。是三维空间中的这些分布点组成了曲面。

是不是说,决定由哪些点构成曲面时,是不是真需要建立一个三维空间坐标系呢?

真需要,就是嵌入,不需要就是内蕴?

曲面自己就“知道”自己由哪些点组成,不须要额外的一个三维的相对坐标来帮助决定?

曲面在三维上围出一个“洞”,是可以通过曲面上自身的信息就能推断出来,而不用跳出曲面来观察的么?

要跳出曲面观察才知道曲面围出了洞,就是嵌入,不用脱离曲面就能推断,就是内蕴。


这么理解符合原意么?这和理解“基本群”概念有什么关系?

继续寻求理解:

在低维空间上,通过变换运动轨迹,就可感知其在高维空间上的性质。

比如,在一个曲面上经过1个固定点,可以画任意多的闭合曲线;可以想象,一只蚂蚁从该点出发,沿任意画出的闭合曲线上运动,回到该点,每走一圈,除固定点外,向左偏移一点再走一圈,最后,会出现什么情况?

某一个圈,可能会出现情况只有两种可能:

  1. 最后会偏移收缩到这个固定点;

  2. 不会收缩到这个点,总会是个圈。

  假设蚂蚁把所有可能的圈,都这么走一遍,那么,所有可能的圈走完,最终可能出现的情况可能是:

  1. 所有可能的圈,最终都可以缩为一点。

  2. 存在1个或多个,相互并不能替代的圈,不能缩为1点,而只是在这1点相交。


    假设出现的是情况1,那么曲面类似1个球面,没有洞。

    假设出现的是情况2,那么曲面是有洞的。

    把所有相互不能替代的圈集合起来,用这个集合里的圈,再反过来让蚂蚁围绕相交点,任意进行偏移走圈,蚂蚁就能走遍整个曲面。

    这说明,情况2中的几个圈的集合及其相互的相交关系,就反映了曲面的最基本的,可保持不变的性质。


这个圈的集合,圈通过交点可进行对接的操作,就是曲面的“基本群”。

那些蚂蚁经过一个固定点最初的圈,经任意扫描平移偏移可走出来的圈,就是同伦圈。


同伦的意思,代数地说,应该是在连续的多元函数中,将某一个变量元在可变的范围内任意变化(扫描),会得到一个函数簇;这一簇函数拥有共同的“父函数”。所以说,这一簇函数是同伦的。

在解析几何中,函数就是曲线,是几元函数就是几+1维空间内的“曲线”,曲线扫描,就会得到曲面。


所以,通过分析一个曲面,最终可以由哪些基本的圈,通过哪些交点约束,动态扫描来覆盖。这个基本圈的集合,就能反映曲面可以维持不变的性质。


不同的几何空间,只是它们解析出来的基本圈和扫描的方式不同。解析出来的基本圈和扫描的方式不同,得到的几何空间也就不同。


基本圈和扫描的方式,就是基本群的概念。



http://blog.sciencenet.cn/blog-33982-1240722.html

上一篇:再次理解“流形”——计算共形几何学习笔记4
下一篇:理解“万有覆盖空间”——计算共形几何学习笔记6

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-10-22 11:27

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部