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再次理解“流形”——计算共形几何学习笔记4

已有 915 次阅读 2020-6-25 18:48 |个人分类:虚构开放世界|系统分类:科研笔记| 流形, 拓扑空间, 骨架

笔记1中谈到1维的连续空间,就是一根可以套着顺滑移动的微套管的橡皮筋。

反过来可以这么理解:【理解1】

微套管可以理解为就是1个点:1个可流动的点状骨架;

橡皮筋可以理解为是1个线段:一个有边界(起点、终点)的一维拓扑空间;

顺滑移动可以理解为是点可以顺着橡皮筋轨道来回连续流动;

这就要求轨道要闭合,可以理解为是一维拓扑空间的边界要对接在同一个点状骨架上;

橡皮筋就变成了橡皮圈,和圆圈拓扑等价,就叫拓扑圆圈;

其形状就等价为1个点状骨架顺着1个连续的1维拓扑空间来回流动形成的形状。

这个拓扑圆圈的形状就是1个1维的流形的例子。

 

在【理解1】基础上,得到【理解2】如下:

假设有2条1维的拓扑空间(橡皮筋),连接到同1个可流动的点状骨架上的话;

得到的就是在1个橡胶点处相连的两个橡皮圈的形状;

骨架点仍然可以在两个相交的拓扑圆圈上来回连续流动,并可在交点处切换拓扑圆圈流动。

这个相交拓扑圆圈的形状,仍然是1维流形的1个例子。

 

【理解3】如下:

在【理解2】基础上也可以假设多条橡皮筋在多个骨架点上连接,变成橡皮筋网的形状;

得到的形状,就是拓扑图的形状,仍然是1维流形的例子。

可见,1维的流形,就是以点为骨架的流形。

 

如何能得到2维、3维、多维的流形呢?

【理解4】如下:

要得到2维的流形,必须用1维的流形为骨架,比如以1个拓扑圆圈为骨架;

然后,必须用2维的拓扑空间,比如1块橡皮膜,要把膜的边界拉扯连接到拓扑圆圈上;

得到的就是拓扑等价为圆盘的橡皮膜,就叫拓扑圆盘。

这样,作为骨架的拓扑圆圈,就可以象一个1环的水波,在膜上收缩或扩大,来回“流动”。

最小缩小到圆心点,最大可扩大到边界圆。

这个拓扑圆盘,就是一个2维的流形的例子。

 

【理解5】如下:

在【理解4】中,假若是用2块橡皮膜,要把膜的边界同时拉到连接到拓扑圆圈上;

即用两块膜以同1个拓扑圆圈为骨架蒙起来了,像个密封的气球,得到的是个拓扑球面;

这样,作为骨架的拓扑圆圈同样可以在拓扑球面上收缩或扩大来回“流动”;

这个拓扑球面,同样是一个2维的流形的例子。

 

【理解6】如下:

在【理解4】中,假若是以【理解2 】中得到的两个相交拓扑圆圈作为1维流形的骨架;

然后用1块橡皮膜,先把膜拉成长方形;

先把长方形膜的一组对边,以骨架中1个拓扑圆圈为对接边蒙起来了;

再以长方形膜的另一组对边,以骨架中另1个拓扑圆圈为对接边蒙起来了;

这样,就得到了一个拓扑圆环面;

这样,作为骨架的两个相交的拓扑圆圈同样可以在拓扑圆环面上来回“流动”;

这个拓扑环面,同样是一个2维的流形的例子。

 

归纳以上理解,并拓展,【结论理解】

n维的流形,就是用n维的拓扑空间,蒙在n-1维流形骨架上得到的形状。

 

再用这个结论理解反过来印证一下之前的理解:

1维的流形,就是用1维的拓扑空间,蒙在0维流形骨架上得到的形状。

 

对照之前【理解1】:“以“点”为骨架的拓扑圆圈是一个1维流形”。

拓扑圆圈是1维的拓扑空间,印证正确,同时可领悟到:

1. “点”是一个0维的流形。

2. “蒙”的意思就是:将拓扑空间拓展开,使其边界恰好对接在给定的骨架上。

3. 既然如此,不如将“被蒙”的拓扑空间,理解为就是一张广义的“蒙皮”。

 

*这里引出了一个非常有意思的问题:“点”,是不是以-1维的流形为骨架的流形呢?

 

对照之前【理解2】:“以1个“点”为骨架的2个拓扑圆圈也是一个1维流形”。

拓扑圆圈是1维的拓扑空间,印证正确,同时可领悟到:

骨架的个数和蒙皮的个数可以各不相同,但“用n维的蒙皮就得到n维的流形”个是不变的。

 

2维的流形,就是用2维的拓扑空间,蒙在1维流形骨架上得到的形状。

对照之前【理解4】:拓扑圆盘是一个2维流形。

是以2维的拓扑圆盘为蒙皮,蒙在一个1维流形:拓扑圆圈上的形状。印证正确。

对照之前【理解5】【理解6】:拓扑球面,拓扑环面都是2维流形。

是以2维的拓扑圆盘为蒙皮,只是骨架数量和蒙皮数量不同,印证正确。

 

根据结论理解演绎一个3维流形的例子:

3维的流形,就是用3维的拓扑空间,蒙在2维流形骨架上得到的形状。

三维的拓扑空间是橡皮块。

找个二维的流形:拓扑圆盘为骨架;

不管橡皮块是什么体积形状,总是可以被揉成了球体状,那么,从球体表面任一点沿直径扫描(流动)过去,得到的截面是个圆盘,圆盘当然是拓扑圆盘。

橡皮块与球体拓扑等价,就叫拓扑球体。

所以,

球体就是一个以拓扑球体为拓扑空间,以拓扑圆盘为骨架的三维流形。

正方体是以拓扑球体为拓扑空间,以正方形为骨架的三维流形。正方形和圆盘拓扑等价。

演绎正确。



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1 杨正瓴

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