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再次理解“函数”——计算共形几何学习笔记3

已有 781 次阅读 2020-6-20 10:47 |个人分类:虚构开放世界|系统分类:科研笔记| 变量, 函数, 变换, 分布, 几何空间

用一个函数来刻画的橡皮筋的形状,就得到一个有结构的空间。

那么,对函数又能怎么理解?

变量

被固定端点拉直的橡皮筋,会和一根直线重叠,

以这根直线为数轴,橡皮筋可沿直线无限拉伸,

所以橡皮筋本身就可以代表一个数轴:一个一维的平直空间。

以橡皮筋上的一个参考点为原点0,那么,橡皮筋上任意一点的位置可用变量X来表示。

X点离原点的距离x,那么X = x就可代表这个1维平直空间上的任意一个位置。

所以,一个变量,就可以代表一根拉直的橡皮筋:一个平直的一维空间。

分布

假设在拉直的一条橡皮筋A的基础上,再来一根橡皮筋拉直的B与之重合。

那么B橡皮筋上的每一点与A橡皮筋的重合点之间的距离等于0。

如果认为B是A上的一个分布,那么,A上的每一个点都对应“分布”着B的一个点;

也就是A的每个点都分布着一个距离值,总是0。

也就是A上的每一个点,移动这个分布的距离值0,就会和B上的对应点重合。

函数

用变量Y来表示B上每一点和A的重叠点的距离,那么Y=0,就是B橡皮筋的位置。

假若B整体在A上方距离为1的位置,那么,Y=1,才是B橡皮筋的位置。

那么,A上的每一点都移动距离y=1,才和对应B上的点重合,

也就是A的每一点分布数值1,就得到B对应点的位置。

假若A上的每一点移动的距离都不同,都等于该点到原点的距离x。

那么,y=x,就是B橡皮筋每一点的位置。

这里,我们就得到一个函数:y=x。

变换

从表面的理解:函数是变量之间的计算约束关系的表示。

用分布来理解,函数是空间上的一个分布关系。

用变换来理解,函数是空间的一个变换关系。

由此可以得知:

任何空间,都可以是在基本的空间上的一个分布;

任何空间,都可以是相对基本空间的一个变换。

决定这个分布或变换的关系,就是函数。

几何空间

由于最基本的空间是拓扑空间,拓扑空间没有函数。

所以,拓扑空间每“附体”一个函数,

就是用该函数来约束点间的位置关系;

就是用该函数来规定一种变换规则;

就是用该函数来计算一个分布;

就得到一以该函数为结构的几何空间。

由于函数是一种可计算的关系(公式),所以,几何空间是可计算的。




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2 王安良 杨正瓴

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