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刘瑞祥:空间顺序定理的试证明

已有 623 次阅读 2018-12-12 10:40 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

  众所周知,希尔伯特《几何基础》(以下简称“希著”)没有空间顺序定理或者公理,只有直线和平面上的顺序公理,其中平面上的顺序公理即所谓帕施公设。本文试对空间顺序定理进行证明。证明过程除用到帕施公设外,主要用到了希尔伯特公理体系的结合公理。

  下面先给出所用公理:

  若两平面α、β有一个公共点A,则一定还有另外的公共点B——I7。(在此基础上可以得出下面命题:两平面或无公共点,或有一公共直线,无公共直线时无公共点。此为希著定理1)

  设A、B和C是不在同一直线上的三点:设a是平面ABC的一直线,但不通过A、B、C这三点中的任一点,若直线a通过线段AB的一点,则它必定也通过线段AC的一点,或线段BC的一点。——II4,即帕施公设。

02-09-1.png

  下面我们进行证明:

  已知:A、B、C、D是不在同一平面上的私点,设l是一直线,但不通过这四点及这四点的连线,直线l通过三角形BCD内部一点.

  求证:直线l必定也通过三角形ABC、ACD、ADB的一点。

  证明:

11-03-1.png

  在平面BCD上任取一点E,过点E和直线l作平面。

  因为此平面与BCD有交点,所以一定存在交线。【前述定理1】

  延长交线,设其与BD交于点F。

  又根据II4,这一直线若经过边BD,则一定与BC、CD之一相交。设其与CD相交于G。

  即直线FG即是交线。

  又,所作平面既然与ABD交于F,则一定与ABD有交线,且根据前面类似的理由,设所作平面与ABD交线为FI,其中点I是所作平面与AB或AD的交点。(图中点I在AB上)

  类似可以证明,所作平面与AC或AD也有交点,设其为H。(图中点H在AC上)

  所给直线l在所作平面上,而所作平面与四面体的交线分别为FG、GH、HI、IF,且其中FG是所作平面与BDC的交线。

  连接GI。

  如果直线l与FI相交则得证,否则,根据帕施公设,直线l一定与GI相交。

   再根据帕施公设,直线l一定与GH、HI之一相交。

  得证。



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