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刘瑞祥:《几何原本》前六卷命题小结(按证明目的)之四

已有 2670 次阅读 2018-11-9 08:48 |个人分类:数学|系统分类:科普集锦

7.证明不等关系的命题

  • 公理5——整体大于部分。

  • I.16——在任意三角形中,若延长一边,则外角大于任意一个内对角。

  • I.17——在任何三角形中,任意两角之和小于两直角。

  • I.18——在任何三角形中大边对大角。

  • I.19——在任何三角形中,大角对大边。

  • I.20——在任何三角形中,任意两边之和大于第三边。

  • I.21——如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段,由交点到两端点的线段的和小于三角形其余两边的和,但是,其夹角大于三角形的顶角。

  • I.24——如果在两个三角形中,一个中的两条边分别等于另一个中的两条边,且一个中的夹角大于另一个中的夹角,则夹角大的所对的边也较大。

  • I.25——如果在两个三角形中,一个的两条边分别等于另一个的两条边,则第三边较大的所对的角也较大。

  • III.7——如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点,且由这点到圆上所引的线段中,圆心所在的一段最长,同一直径上余下的一段最短;而且在其余的线段中,靠近过圆心的线段中较远离的为长;这点到圆上可画出相等的线段只有两条,它们各在最短线段的一边。

  • III.8——如果在圆外取一点切从这点画通过圆的直线,其中之一过圆心而且其他的可任意画出。那么,在凹圆弧上的连线中,以经过圆心的最长;这时靠近通过圆心的连线大于远离的连线。但是,在凸圆弧上的连线上,在取定的点的直径之间的一条最短;这时靠近的连线短于远离的连线。而且由这点到圆周上的连线,相等的连线中只有两条,他们各在最短连线的一侧。

  • III.15——在一个圆中的弦以直径最长,而且越靠近圆心的弦总是大于远离圆心的弦。

  • III.16——由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角,则该线落在线外,又在这个平面上且在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线;而且半圆角大于任何锐直线角,而余下的角小于任何锐直线角。

  • III.31——在一个圆内半圆上的角是直角;在较大弓形上的角小于一直角;且在较小弓形上的角大于一直角;此外,较大的弓形角大于一直角;且较小的弓形角小于一直角。

  • V.10——一些量比同一量,比大者,该量也大;且同一量比一些量,比大者,该量较小。

  • V.14——如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比,且第一量大于第三量,则第二量也大于第四量;如果前二量相等,则后二量也相等,如果第一量小于第三量,则第二量也小于第四量。

  • V.20——如果有三个量,又有个数与它们相同的三个量,在各组中每取两个量都有相同的比,如果首末项第一量大于第三量,则第四量也大于第六量;如果前二者相等,后二者也相等;如果第一量小于第三量,则第四量也小于第六量。

  • V.21——如果有三个量,又有个数与它们相同的三个量,在各组中每取相应的两个量都有相同的比,而且它们成波动比例。那么,如果首末项中第一量大于第三量,则第四量也大于第六量;如果前二者相等,后二者也相等;如果第一量小于第三量,则第四量也小于第六量。

  • V.25——如果四个量成比例,则最大量与最小量的和大于其余两个量的和。

8.证明比例关系的命题

  • 第V卷

  • VI.1——等高的三角形或平行四边形,它们彼此相比如同它们的底的比。

  • VI.2——如果一条直线平行于三角形的一边,则它截三角形的两边成比例线段;又,如果三角形的两边被截成比例线段,则截点的连线平行于三角形的另一边。(前半部分)

  • VI.3——如果二等分三角形的一角,其分角线截底成为两线段,则这两线段的比如同三角形其它两边之比;又,如果分底成两线段的比如同三角形其它两边的比,则由顶点到分点的连线平分三角形的顶角。(前半部分)

  • VI.4——在两个三角形中,如果各角对应相等,则夹等角的边成比例,其中等角所对的边是对应边。

  • VI.8——如果在直角三角形中,由直角顶点向底作垂线,则与垂线相邻的两个三角形都与原三角形相似,且它们两个彼此相似。推论:由此明显的,如果在一个直角三角形中,由直角向底作一垂线,则这垂线是底上两段的比例中项。

  • VI.14——在相等且等角的平行四边形中,夹等角的边成互逆比例;在等角平行四边形中,若夹等角的边成互反比例,则它们相等。

  • VI.15——在相等的两个三角形中,各有一对角相等,那么,夹等角的边成互反比例;又,这两个三角形各有一对角相等,且夹等角的边成互反比例,那么,它们就相等。

  • VI.17——如果三条线段成比例,则两外项构成的矩形等于中项上的正方形;又如果两外项构成的矩形等于中项上的正方形,则这三条线段成比例。(后半部分)

  • VI.19——相似三角形互比如同其对应边的二次比。推论:如果三条线段成比例,则第一条比第三条如同画在第一条上的图形比画在第二条上与它相似且有相似位置的图形。

  • VI.20——将两个相似多边形分成同样多个相似三角形,且对应三角形的比如同原形的比;又原多边形与多边形的比如同对应边与对应边的二次比。推论:类似的,可以证明:有关四边形的情况,形与形之比如同对应边的二次比;前边已经证明了三角形的情况。所以一般的,相似直线形之比是其对应边的二次比。

  • VI.21——与同一直线形相似的图形,它们彼此也相似。

  • VI.22——如果四条线段成比例,则在它们上面作的相似且有相似位置的直线形也成比例;又如果在各线段上所作的相似且有相似位置的直线形成比例,则直线线段也成比例。

  • VI.23——角各相等的平行四边形相比如同它们边的比的复比。

  • VI.24——在任何平行四边形中与它有共同对角线的平行四边形都相似于原平行四边形,并且也彼此相似。

  • VI.33——在等圆中的圆心角或圆周角的比如同它们所对弧的比。



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