说明：I.4即为第一卷命题4，余类推；命题出自兰纪正、朱恩宽翻译的《几何原本》

1.依据定义

• I.定义10——一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角彼此相等，两角皆称为直角，其中一条称为另一条的垂线。

• V.定义5——有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比，如果对第一与第三个量取任何同倍数，又对第二与第四个量取任何同倍数，而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系，那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。

• VI.定义1——凡直线形，若它们的角对应相等且夹等角的边成比例，则称它们是相似直线形。

2.线、角转化

• I.4——如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边，而且这些相等的线段所夹的角相等，那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，这样其余的角也等于相应的角，即那些等边所对的角。（线转化为角）

• I.5——在等腰三角形中，两底角彼此相等，并且若向下延长两腰，则在底以下的两个角也彼此相等。（线转化为角）

• I.6——如果在一个三角形中，有两角彼此相等，则等角所对的边也彼此相等。（角转化为线）

• I.8——如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边，并且一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等。（线转化为角）

• III.14——在一个圆中等弦的弦心距也相等；反之，弦心距相等，则弦也相等。（一组线转化为另外一组线）

• III.28——在等圆中等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。（线转化为弧）

3.位置关系与数量关系的转化

• I.14——如果过任意直线上一点有两条直线不在这一条直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上。（共线关系转化为等角关系）

• I.27——如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等，则这二直线互相平行。（等角关系转化为平行关系）

• I.29——一直线和两条平行直线相交，所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直角。（等角关系转化为平行关系）

• I.47——在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。（垂直关系转化为面积和）

• III.18——如果一条直线切于一个圆，则圆心到切点的连线垂直于切线。（相切关系转化为垂直关系）

• III.22——内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。（四点共圆转化为两角和关系）

4.借助传递性

• 公理1——等于同量的量彼此相等。（量的传递性）

• I.30——一些直线平行于同一条直线，则它们也互相平行。（平行的传递性）

• V.7——相等的量比同一个量，其比相同；同一个量比相等的量，其比相同。（量的传递）

• V.11——凡与同一个比相同的比，它们也彼此相同。（比的传递）

• VI.21——与同一直线形相似的图形，它们彼此也相似。（相似的传递）

5.借助和差与比例

• 公理2——等量加等量，其和相等。

• 公理3——等量减等量，其差相等。

• I.47——在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。（面积和）

• VI.1——等高的三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比。（面积比）

6.反证法（本内容不同于以上，下面给出的是用反证法证明的命题而非反证法的依据）

• I.7——在已知线段上（从它的两个端点）作出相交于一点的二线段，则不可能在该线段（从它的两个端点）的同侧相交于另一点的另外二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段，即每个交点到相同端点的线段相等。

• I.29——一直线和两条平行直线相交，所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直角。

• I.30——一些直线平行于同一条直线，则它们也互相平行。

• III.4——如果在一个圆中，有两条不经过圆心的弦彼此相交，则它们不互相平分。

• V.9——几个量与同一个量的比相同，则这些量彼此相等；且同一个量与几个量的比相同，则这些量相等。