提要：

　　“第五公设”（平行公设）是欧几里得《原本》（文献1）中的一个热点问题，这一问题随着非欧几何的建立而从原则上获得了解决，但对于每一具体问题来说，还需要更深入的分析。本文对《原本》中一个命题提出另外的证明方法，试图使之摆脱第五公设。

正文：

　　文献1对于第五公设（文献1，P2）的态度是“能不用尽量不用”，这不但表现在它直到第一卷的命题29才用到这一公式，更突出地表现在第一卷命题16（三角形的外角大于内对角，文献1，P15）、命题26（三角形全等判定定理角边角及角角边，文献1，P23）第三卷命题17（由已知点作直线切于已知圆，文献1，P78）中没有用到第五公设及其等价命题上，尽管如果用第五公设则角角边定理是角边角定理的直接推论。

　　细查不需要第五公设的命题，可以将其分为几种类型，其中之一是涉及不等量的关系的。因此，其第11卷命题21——构成一个立体角的所有平面角的和小于四直角（文献1，P525）——用到了“三角形内角和为二倍直角”这一间接涉及第五公设的命题作为依据就显得相当奇怪。这一命题的直观形象是，将一个棱锥的侧面沿着侧棱剪开后铺成平面，不会铺成一周，总会留有空隙：

　　文献2对上述命题给出了一个新的证明：

　　这里唯一用到的一条依据是如下命题：如果由三个平面角构成一个立体角，则任意两个平面角的和大于第三个平面角（文献1，P524），而这不需要第五公设。

　　文献2还对更多平面角组成的多面角的情况进行了简单叙述，但没有给出详细证明，下面本文就对在前面的基础上作进一步证明，即任意的凸面角的平面角之和小于四倍直角。

　　众所周知，第五公设的应用范围很广，有时也很隐晦。笔者前面所证的过程很可能不经意地间接用到了第五公设。以上内容敬请专家读者指正，即使最终这一命题还是离不开平行公设，以上也算是对之给出了另外的证明方法。

参考文献：

　　1：欧几里得，《欧几里得几何原本》，兰纪正、朱恩宽翻译，陕西科学技术出版社2003年出版

　　2：J.阿达玛，《几何 立体部分》，朱德祥译，上海科学技术出版社1966年版