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论剪应力互等定理的无效性

已有 1926 次阅读 2018-12-25 17:27 |系统分类:科研笔记


摘要:通过对简单剪切试验应力状态的分析,指出在试件加载面的两个角点处,由于其外侧为自由表面,因此剪应力互等定理是无效的。这表明应力张量的对称性不是普适的,根据线性代数理论,非对称矩阵是不一定能实对角化的,也就是说主应力状态也不是普遍存在的。所以经典的应力理论是有问题的,根据对偶关系,应变理论也是有问题的。应力、应变是经典连续介质力学的核心概念,因此这是一个系统性的漏洞,值得关注。

关键词:连续介质力学,剪应力互等定理,主应力状态,系统性漏洞

 

引言

应力、应变是连续介质力学的核心概念,也是贯穿始终的研究主题。考虑微元体应力、体力和惯性力的平衡,可以得到运动方程,考虑单元体应变和位移的关系可以得到几何方程,而考虑应力、应变之间的关系就可以得到本构方程。这三大基本方程是连续介质力学的主体内容,由此可见应力、应变理论的重要性。如果它们发现是有问题的,那将是系统性的问题。


经典的应力理论

剪应力互等定理是经典应力理论的基本内容,说得是单元体两个相互垂直面上的切应力大小相等,并且同时指向或者背离公共面。在如图1所示的平面应力状态中,根据剪应力互等定理有τxyyx。剪应力互等定理确保了应力张量的对称性,而对称的三阶矩阵总是可以找到三个实的特征值的,这就意味着主应力状态总是存在的。

 

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1 一点的平面应力状态

Fig.1 The plane stress state of a point

 

剪应力互等、对称性和主应力状态是经典应力理论的三个基本特征,其中剪应力互等又是后面两个特征的来源。


剪应力互等定理是无效的

要证明一个定理有问题,纯粹的概念、逻辑之争可能是无休止的,我们不妨来看一下简单剪切试验的例子。如图2所示,块体V下端固定,上端施加一个水平向右的剪切力Q。考虑块体受力平衡,由于左右两端是自由表面没有力的作用,因此下部固定端提供全部的抗力:一个水平向左大小等于Q的剪切力和一个逆时针的弯矩M。这是一个简单可实现的受力模式,当把整个图像旋转90度时,就是我们熟悉的悬臂梁的情形。

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2 简单剪切试验

Fig.2 The simple shear test

 

如果把块体V整体当做一个大的单元,很容易看出剪应力互等定律在这里是不必要的。但是辩护者会说V其实是一个结构体,应该把它看成是由一系列的材料点构成的,而在这些小的材料单元体上,剪应力互等定律是成立的,于是似乎只要把块体无限细分下去就好了。  

假设这种不断细分的操作可以接受,我们确乎没有充足的理由怀疑块体内部的点是否满足剪应力互等定律,但是对于顶部的两个角点,剪应力互等定律则肯定是无效的,因为其外侧是自由表面,根本没有力的存在。


系统性漏洞

上面对简单剪切试验的分析表明,抵抗力矩在“大”的单元体中是可以存在的,因而不需要剪应力互等,如果试图用无限细分的方法来解决问题,又会在角点上遭遇困难,因此剪应力互等定律在这里铁定是破产了。

从逻辑上说,要证明一个理论是对的,举多少个正面的例子都不够充分,而要证明它是错的,给出一个反例就可以了。

由上面的例子,我们可以得出剪应力互等定理不是普适的,因而应力张量的对称性也不是普适的。根据线性代数理论,一个非对称的三阶矩阵是不一定能保证一定能实对角化的,也就是说主应力状态不是普遍存在的。

因此经典的应力理论是有问题的,根据对偶关系,应变理论也是有问题的。考虑到应力、应变理论的重要性,这是一个系统性的漏洞。


讨论和结论

通过具体的例子,导出了连续介质力学的一个系统性漏洞,即经典的应力、应变理论都是有问题的。在公理化体系下,一个漏洞即可能摧毁整个理论大厦,因此这个漏洞,值得大家关注。

关注的要点之一就是,对简单剪切试验中加载面角点处,剪应力互等定理失效的性质进行界定。这到底是一个细节的小问题、可以在既有体系下构建非对称的理论进行修补,还是理论的漏洞。

本文认为这是一个理论的漏洞。因为经典理论在定义一点的应力状态和推导剪应力互等定律的时候,从来没有说要区分这个点所在的位置,它所试图描绘的是一幅普适的、一般性的图景。

因此经典理论很有可能犯了以偏概全、把特殊当一般的错误,值得进一步关注。





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1 王安良

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