能达丰富性优化中保证能达域一致性变化的要诀

       在本人文章arXiv1705.08064(On Controllable Abundance Of Saturated-input Linear Discrete Systems) 给出并证明了一个关于能控丰富性与控制设计中控制策略解空间、闭环控制系统达到的最佳性能指标和鲁棒性的关系的定理。该定理指出,若对具有某待定设计参数的开环系统,若能控域随著该设计参数在某区间的变化而在各个方向单调向外增大(不要求都严格单调增大),则能控丰富性也逐渐增大,对状态空间中任一点其镇定控制问题的控制策略解空间也逐渐在各个方向单调向外增大.控制设计中控制策略解空间增大，其闭环控制系统达到的最佳性能指标和鲁棒性也逐渐更佳。因此,优化开环系统的能控域或能控丰富性可以提高控制系统的性能和鲁棒性。

      但实际上,对具有某待定设计参数的开环系统,单纯优化能达丰富性可能其能达域在各个方向并不单调地向外增大。如何在能达丰富性优化过程中,尽量使得能达域在各个方向单调地向外增大,则成为能达丰富性优化中的关键。

      由博文“决定能达丰富性大小的主要因素”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1073870.html)中指出的决定能达丰富性大小的主要因素,可以总结出如下能达丰富性优化中保证能达域一致性变化的要诀：

      1. 限制系统矩阵 $A$ 各特征值的模的大小,既保证各特征值分布均匀,又使得其模不超过指定的上下界,这样在优化过程中能达域各个方向上变化比较均匀,不至形状畸形(能达域在某些方向过大,另一些方向过小)；

      2. 限制各个特征向量方向上能控域的最大值 $\frac{q_{i}b}{1-\lambda_{i}}$ 尽量均匀，即包含的能达域最小椭球的各个轴的长度尽量均衡；

      3. 限制系统矩阵 $A$ 的各特征向量之间尽量正交,即包含的能达域最小椭球的各个轴尽量垂直正交,该能达域(椭球)尽量均匀；

      4. 限制输入矩阵 $B$ 的各列与系统矩阵 $A$ 的左特征向量之间的角度。