超球面模型(MDSM)的探索与应用分享 http://blog.sciencenet.cn/u/TUGJAYZHAB 用多元向量表示系统状态,多元向量乘法群描述系统的运动,白-杰时间链连接历史和现实: Y(i,k+1)=[Y(i,k)*T(i,k)+D(i,k+1)]/2。

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重发:多元向量乘法群的证明

已有 325 次阅读 2018-1-14 13:08 |个人分类:多元向量乘法群|系统分类:论文交流

原文,http://blog.sciencenet.cn/blog-333331-676833.html 被屏蔽。因为新的一年的投资实验已经开始,因此重发,以方便读者。

已知:超球面模型’定义了多元向量的乘法:‘分量的积做积的分量’(白,1995)。

求证:“超球面模型”是乘法群,交换群


证明:
我们用一个特例:四维空间的4元向量来证明四维超球面模型是乘法群。博友可以把4换成其它自然数,以至M,证明一般的超球面模型是乘法群。


‘分量的积做积的分量’的乘法定义,四维空间的两个4元向量AB的乘积是C

A(i)*B(i)=C(i),                       i=1, 2, …,4                                  [公式2-4]

多元向量的积C(i),            i=1, 2, …,4

也是四维空间的4-向量。也就是说,超球面模型定义的乘法在这里的四维空间“封闭”


4-向量乘法的定义满足结合律(用中括号表示结合)
[A(i)*B(i)]*C(i)

=([A(1)*B(1)]*C(1), [A(2)*B(2)]*C(2), …, [A(4)*B(4)]*C(4))
= (A(1)*[B(1)*C(1)], A(2)*[B(2)*C(2)], …, A(4)*[B(4)*C(4)])  
=A(i)*[B(i)*C(i)],                     i=1, 2, …,4

四维空间有一‘恒等元向量’:每个分量等于14元向量,被特称为OM 向量OM=1,1,1,1OM向量是四维空间的中天向量(Identity, I 向量)。任一四元向量与OM向量(恒等元向量)的积仍是该四元向量自身:

A(i)*OM(i)=A(i)*OM(i)=A(i),                                                 i=1, 2, …,4


满元向量’。所有的分量都不等于零的4元向量是满元向量。


有分量等于零的4元向量是‘不满元向量’。不满元向量不是四维空间的向量。比如,有一个分量是零的四元向量,实际上是三维空间的点,是3元向量。...以此类推。


‘满元向量’恒有逆向量。

分量的逆(倒数)是逆向量的分量。

A(i)^-1=1/A(i),                     i=1, 2, …,4

两支互逆的4元向量的积是OM向量:

A(i)*1/A(i)=1,1,1,1=OM,                 i=1, 2, …,4

满元向量也称无零向量。

‘满元向量’恒有逆向量,所以可做分母,做除法。


四元向量的乘法满足交换律:

A(i)*B(i)

=(A(1)*B(1), A(2)*B(2), …, A(4)*B(4)
= (B(1)*A(1), B(2)*A(2), …, B(4)*A(4))  
= B(i)*A(i),                                                        i=1, 2, …,4

在四维空间,满元的4-向量对‘分量的积做积的分量’的乘法是封闭的,可结合的,有恒等元,有逆元,所以是乘法群。而这个乘法群是可交换的,所以‘超球面模型’是乘法群、交换群、多元阿贝尔群。


照搬自《数学手册》,高等教育出版社,1979,北京,465,466页。

欢迎批评指正。


相关阅读:多元向量基本运算。白图格吉扎布:趋势分析及其在生态股市中的应用,民族出版社,北京,2006,171-185页。

链接:http://blog.sciencenet.cn/blog-333331-276221.html







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