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细说连续统假设的前世今生

已有 2251 次阅读 2019-3-13 06:22 |系统分类:论文交流

细说连续统假设的前世今生

 

吕陈君

 

本文是对《Negative Proof about Continuum Hypothesis》证明思想的一个通俗说明。具体分析了ZFC系统本身存在的问题,所以,要想在ZFC的基础上寻找新公理来解决CH问题,这是不可能成功的。解决CH问题的关键,在于重新考察集合论基础。

 

1.连续统问题的来源及其历史演变


连续统假设,简称CH,是G.Cantor在创立集合论时提出的一个问题,要了解这个问题,就必须先了解Cantor是怎样建立集合论的。


Cantor采用了两种方法来构造越来越大的超穷集合。[1]第一种方法是利用幂集合,他证明了一个集合总比其幂集合要小,而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势(即元素个数相等)。这样,从自然数集N开始,利用幂集合方法,就可以形成一系列越来越大的超穷幂集合:


N, P(N), P(P(N)),……


第二种方法是利用超穷数,Cantor提出了生成超穷序数的三条原则。第一原则,从1开始,任何序数α加1后仍是一个序数。这样,从1开始,就可以形成一个无穷延伸的序数序列:


1,2,3,…,n,……


在这个序数序列中没有最大序数存在,那么根据第二原则,如果一个无穷延伸的序数序列中没有最大序数,那么它必然存在一个极限序数ω,这是一个新的序数。这样,从ω开始反复+1,又可以得到一系列超穷极限序数:


ω,…, 2ω,…,ω^2,…,ω^n,……

但这些极限序数都是等势的,根据第三原则,Cantor认为,这个超穷极限序数序列中也没有最大序数,所以必然存在一个更大的超穷序数ω1,它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大。这样,反复利用这三条原则,就可以形成一系列越来越大的超穷基数:

ω,ω1,ω2,…,ωi,……


Cantor自然就提出这样一个问题:实数集R的基数2^ω到底和上述哪个超穷基数ωi等势呢?他认为2^ω等于ω1,这就意味着在N和R之间不存在其他超穷集合。但Cantor不能给出证明,这一问题就被称为连续统假设,也被称为Hilbert第一问题。后来,人们把CH进行了推广,认为对于任何一个超穷基数ωi,都有2^(ωi )=ω_(i+1)成立,这就是广义连续统假设GCH。


但不久人们就在Cantor的集合论中发现了悖论,为了消除这些悖论,就开始对集合论进行公理化处理,并先后建立了几个集合论公理系统,这些系统被证明都是等价的,人们通常使用的是ZFC。进行公理化后,基本上都能消除悖论。


但是,接着又出现了新的问题,K.Gödel和P.J.Cohen一起证明了:CH在ZFC中是不可判定的。这一结果立即引起了人们对数学基础问题的极大争论,其中Gödel和Cohen两人的看法是具有代表性的,这有点像量子力学解释中的争论,Cohen相当于Bohr,Gödel相当于Einstein。


Cohen是个形式主义者,他认为CH问题“是没有内在的意义的”,[2]在他看来,CH在集合论中的地位,就类似于平行公理在几何学中的地位,它可能成立也可能不成立,因此就存在不同的集合论公理系统,就好像存在不同的几何学一样,他还把CH不成立的集合论称为非Cantor集合论。[3]Cohen的看法赢得了大多数数学家的赞同,这是主流的观点。一些极端的形式主义者甚至认为2^ω可以等于任何一个ωi,每一种可能都描述了连续统上一种不同的流形结构。[4]从这种意义上来说,CH问题已经得到了解决。


但Gödel恐怕很难同意上述意见,他是个客观主义者也可以说是Plato主义者,他认为像CH这样一个命题是完全可以做出判定的,而CH在ZFC中的不可判定性,“只能意味着这些公理没有包括那个实在(指连续统)的完备的描述”。 [5] 这种语气就很像Einstein了。说得更直观一点,像“在自然数集N和实数集R之间究竟还有没有另一个无穷集合”这样的问题,似乎是应该有一个明确结论的。从这种意义上来说,CH问题还没有得到解决。


但究竟怎样来解决CH问题,两人的意见是一致的,那就是必须重新考察集合论基础。Gödel认为:“这些问题的完全解决,只有通过对在它们中出现的词项(如‘集合’、‘一一对应’,等等)和支配这些词项的使用的公理进行(比通常所作的)更深入的分析,才能得到。” [6] Cohen也认为,如果要来“发展我们的哪些公理应当被接受”,那“我们必须整个地放弃科学的计划并且返回差不多是本能的水平,即与人们最初开始思考数学问题时的精神状态多少相似的状态。” [7]而且两人都猜测,CH很有可能是不成立的。对此Cohen说得很明白:“由构造幂集合提供的连续统,不是用以替换公理为基础从较低的基数出发构造较高的基数的任何过程可以达到的,这样,2^ω将被认为大于ω1ω2,…,ωi的基数。” [8]也就是说,2^ω要大于任何超穷基数ωi。而这正是我所证明的结果。

 

2.为什么当前集合论研究主流方向很难获得成功


当前集合论研究的主流方向是寻求新公理来判定CH问题,像大基数公理、决定性公理、Woodin公理和Ώ猜想等等,[9]但是这些新引进的公理都存在着一个问题,它们都是建立在ZFC的基础上,至少都采取了默认ZFC公理的态度。但问题是,如果ZFC本身存在缺陷或错误呢?ZFC本身要还有问题,那我们要想在此基础上去寻找一些结构性的新公理,那无疑是妄想在流沙上建立起宫殿,这是不可能成功的。


目前人们讨论的集合论新公理都存在问题,它们都缺乏直观的数学意义,只能视为某种结构性的、辅助性的特殊公设,这就很难让人们相信它们的真实性。我们可以来简单地逐个分析。譬如,大基数公理断定存在某些不可达基数k,即γ<k蕴涵2^γ<k,可事实上我们连2^ω=ω1这样有关超穷基数最简单的性质都不能判定,又怎么能够假定大基数k具有这么复杂的性质呢?又譬如,决定性公理和选择公理是不相容的,但要是放弃选择公理,那么我们就无法使用“对一无穷集A,∃x∈AF(x)或∀x∈AF(x)这样的基本公式了。Woodin公理和Ώ猜想看起来方向是对的,但形式上太复杂了,很难成为一条公理,特别是,它们都依赖于ZFC,要是ZFC有问题,那它们就都有问题了。


下面我们再来分析一下ZFC究竟还存在哪些问题?其实,自从ZFC建立,人们对它的争议就从未停止过。其中,最大的一个问题就是:对一个无穷集,譬如最简单的自然数集N,根据选择公理,N的任一元素都是可以被“确定的”,那么显然N的任一子集合也是可以被“确定的”,也就是说,其幂集合P(N)就是被“确定的”。但实际上,人们发现,在ZFC中,许多N的子集合是无法被“确定的”,特别是,能被计算的N的子集合只是可数的,这就意味着,还有大量的N的子集合是不能被“确定的”或计算的。譬如,在力迫法中,“脱殊集合的性质说明:对不可数多个自然数的集合来说,一可数语言留下了大量的不确定性的东西,在一定意义下,我们可以说,脱殊集合是ZF语言所无法描述的那些对象。” [10]这样看来,ZFC中的选择公理、替换公里、子集合公理和幂集合公理就都存在一定的问题。


所以,人们对究竟哪些N的子集合能被确定下来,一直都心存疑惑,从Fraenkel、Mostowski、Gödel、Cohen、Hao Wang等这些经典作者一直到最近的研究者W.B.Easton、S.Feferman等人,始终认为像幂集合P(N)这样的概念是有问题的。譬如,Fraenkel就认为:“Cantor认为,S的子集合就是S的一部分,子集合公理和选择公理产生的子集合可能与Cantor的子集合概念有很大差别。在没有弄清楚子集合的确切含义之前,不可能确定子集合的数目。” [11]Feferman等人也认为:“自然数的任意子集合”的概念和“实数的任意子集合”的概念都是含糊的,因为我们缺少对这些概念的集合直观,“没法用合理的方式表明在不违反这个概念应该是什么的情况下形成这个概念”。[12]所以,要解决CH问题,就必须先要搞清楚究竟哪些N的子集合是可以被“确定的”。

 

3.关于CH否定性证明的基本思想及主要结论


从1995年到2016年,我差不多花了20年时间来研究CH问题。我的证明思想是非常直观和简洁的,但整个证明的展开却非常复杂和精致。如果不是感受到证明中的美,我是不会花这么大的精力和这么长的时间来投入其中的,这种感受只有亲身经历过的人才能懂得。


我的出发点很简单:就是要把N的子集合排成一个良序集,那么这个良序集就是被“确定的”,但它不一定等于P(N)。但实际上,最后我们是把N所有的有穷子集合排成了一个良序集。具体构造的方法如下。首先,把含有1个元素的N所有的有穷子集合排成良序集:


{1},{2},…,{n},……


这个集合的“序型”就是ω。然后,再把含有2个元素的N所有的有穷子集合排成良序集:


    {1,2,}{1,3},…,{1,n},……

    {2,3},{2,4},…,{2,n},……

      

    {n,n+1},{n,n+2},…,{n,n+m},……

……


这个集合的“序型”就是ω^2。这样依次类推,当i→∞时,ω^i→ω1,就把N所有的有穷子集合排成了一个良序集,其排列顺序跟Cantor超穷序数序列严格对应。我们把这个良序集记作P^∞(N),称为“N的ω型幂集合”,也就是N所有的有穷子集合的集合。


这样,从N开始,就可以形成一系列无穷递增的ω型幂集合:


P^∞(N),P^∞(P^∞(N)),P^∞(P^∞(P^∞(N))),……


后者都是前者所有的有穷子集合的集合。通过重新考察集合论基础,我发展出一种非常精致的方法来描述这些ω型幂集合的序型结构,但这里就不展开讨论了,并最后证明了两个定理:


定理(1):P^∞(N), P^∞(P^∞(N)), P^∞(P^∞(P^∞(N))),……的基数是逐次增大的,并依次等于ω1、ω2、ω3、……。


定理(2):所有P^∞(N), P^∞(P^∞(N)), P^∞(P^∞(P^∞(N))),,……的基数都小于2^ω


我的证明中还包含了许多重要的内容,其中有两个定理相当于两个较强的Gödel不完备性定理,有一个定理相当于Löwenheim-Skolem定理,这就说明它决不是孤立的,与原来的集合论之间肯定存在着某种内在的联系.

 

4.判定CH对数学的重大意义


CH问题的实质是自然数和实数的关系,这是数学基础中最核心的问题,即如何用离散的方法来构造连续统。自从古希腊人发现这个难题以来,至今它仍未得到完全解决。利用Dedekind分割并不能得到所有的实数,现有构造实数的标准方法其实都是非构造性的。直觉主义数学家A.Heyting曾评价过,“Dedekind分割,这个算法仍然没有给我们提供任何途径来判定一个有理数A究竟位于C的左边或右边或者刚好等于C,因此,我们将不能保证欧拉常数C是一个实数。” [13]非标准分析也给我们提供了这样一种印象,直线上的点是无限可分的。这就说明,我们对连续统还所知甚少。我们对CH的否定性证明正好说明:人们利用不断+1这种方法可以无限逼近连续统,但却永远也不能达到其尽头。这可能也是Cohen猜测CH不成立的重要心理因素。正如B.Pascal比喻的那样:人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟,我们总想要追求某种确定性,但却永远也抓不住,一不小心我们的整个基础就会分崩离析,而下面就是那无底深渊。既然连实数都无法穷尽,那么在数学上,人类永远只是探索者,而没有“终结者”。我们对CH的否定性证明,揭示出了自然数和实数真实的结构关系——这个隐藏在人类心灵和历史深处的自然之谜。

 

 

注释:

[1] Georg Cantor: Contributions to Founding of Theory of Transfinite Numbers, Inner Mongolia (1995), p43-p46.

[2] P. J. Cohen: “Comments on Set Theory Foundation”, stated in Mathematical Philosophy Translation Works complied by logic research office, Philosophy Research Institute of Chinese Academy of Social Sciences, The Commercial Press (1988), p134.

[3] P.J. Cohen:“non-Cantor set theory”,stated in Development History of Set Theory that Jinwen Zhang and Jintong Yan are editors-in chief, Guangxi Normal University Press (1933).

[4] P.J. Cohen: “Independence of Continuum Hypothesis II” ,stated in Development History of Set Theory that Jinwen Zhang and Jintong Yan are editors-in chief, Guangxi Normal University Press (1933).

[5] Kurt Gödel: “What is Cantor’s Problem on Continuum Hypothesis?”, stated in Mathematical Philosophy Translation Works complied by logic research office, Philosophy Research Institute of Chinese Academy of Social Sciences, The Commercial Press (1988), p145.

[6] Kurt Gödel: “What is Cantor’s Problem on Continuum Hypothesis?”, stated in Mathematical Philosophy Translation Works complied by logic research office, Philosophy Research Institute of Chinese Academy of Social Sciences, The Commercial Press (1988), p142.

[7] P. J. Cohen: “Comments on Set Theory Foundation”, stated in Mathematical Philosophy Translation Works complied by logic research office, Philosophy Research Institute of Chinese Academy of Social Sciences, The Commercial Press (1988), pp137-138.

[8] P. J. Cohen: “Comments on Set Theory Foundation”, stated in Mathematical Philosophy Translation Works complied by logic research office, Philosophy Research Institute of Chinese Academy of Social Sciences, The Commercial Press (1988), p134.

[9] Min Zhu ,“Philosophical Thinking on the Exploration of New Axioms in Set Theory”,stated in World Philosophy, No. 2, 2013,pp151-159.

[10] Jinwen Zhang: Introduction to Axiomatic Set Theory, Science Press (1999), p315.

[11] Fraenkel: “Axiomatic Development of Set Theory”, stated in Development History of Set Theory that Jinwen Zhang and Jintong Yan are editors-in chief, Guangxi Normal University Press (1933), p86.

[12] S.Feferman,H.M.Friedman,P.Maddy,and J.R.Steel,“Does Mathematics Need New Axioms?” in The Bulletin of Symbolic Logic,6 (4),2000, p.411.

    [13] A.Heyting:“The intuitionistic basis of mathematics”,stated in Philosophy of Mathematics edited by Paul Benacerraf and Hilary Putnam, the Commercial Press(2003), p62.

 




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