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希尔伯特圆梦的佐证

已有 2791 次阅读 2016-7-30 19:13 |个人分类:超数学|系统分类:观点评述


我在2016年4月的博客《希尔伯特梦后百年》提出希尔伯特纲要的目标并未被哥德尔证明击垮,而是基本实现了。并在微博(http://blog.sciencenet.cn/u/zhangbeijing)设置向正反方征求反响。虽然反响不大,但多数人仍让坚持希尔伯特之梦并未实现。

现在我发现了一个支持我的观点的佐证:

“从1950年起在数学哲学和逻辑学方面的文献中,这已成为一个普遍共识,即希尔伯特纲要不仅已经被哥德尔不完备性定理’杀死’,而且它如果不是一开始就考虑欠妥的话,就是过于野心勃勃了。尽管如此,在近来的文献中,出现了一些更积极的评价。这大部分原因是希尔伯特学派未发表的作品(尤其是希尔伯特课堂笔记)近年来得到了关注,……希尔伯特的哲学思想能够以怎样的方式得到拯救,这仍有待考察。从上一节的讨论中,无论如何都应该明确的是,那些与希尔伯特思想密切相关的成果已经取得了重大成功。……在过去半个世纪以来,证明论和希尔伯特的目标在更普遍意义上得到了巨大的推进。”

上段文字摘自《爱思唯尔科学哲学手册/逻辑哲学(上)/理查德 扎克:希尔伯特纲领的过去与现在》(北京师范大学出版集团,2015年12月,pp552-553)

理查德·扎克的基本理由是算术体系结构的建立,但他只引证了几个公理系统(PRA等)-----算术公理体系结构当前的研究进展详情参见本人著作《证明方法与理论》(国防工业出版社,2015年11月),其公理名单如下,先后次序满足相容性≤关系:


(1) PFA

(2) EFA

(3) SEFA

(4) PRA

(5) RCA

(6) IΣ2

(7) IΣ3

(8) PA

(9) ACA0

(10) ACA0+ ("n,X)(TJ(n,X))

(11) ACA

(12) RCA0 + TJ(w)

(13) ACA0 + TJ(w).

(14) ACA + TJ(w).

(15) ACA0 + ("x)(TJ(w,x)).

(16) ACA0 + {("a,x)(TJ(a,x)):a<ww}

(17) ACA0 + {(a<ww)("x) (TJ(a,x))}.

(18) RCA0 + TJ(ww).

(19) ACA0 + TJ(ww).

(20) ACA0 + {("x)(TJ(ww,x))}.

(21) ACA0 + {("x)(TJ(a,x)):a<OE0}

(22) $\Delta$ -CA

(23) RCA0 + TJ(OE0):  

(24) ACA0 + TJ(OE0).

(25) ACA + TJ(OE0).

(26) ACA0 + ("x)(TJ(OE0,x)).

(27) {ATI(a):a< G0}

(28) ATR0

(29) ATI (<G0).  

(30) ATR

(31)  Π-TI0

(32)  Π-TI

(33) TI

(34) ID2

(35) ID<w

(36) Π-CA0

(37)  Π-CA

(38) Π  -CA+TI

(39)  Π-TR0

(40)  Π-TR

(41)  Π-CA0

(42)  Π-CA

(43)  Π-CA+TI

(44) Z2

(45) Z3

(46) Type Theory.

(47) Weak Zermelo.

(48) ZC:Zermelo+Choice Axiom

(49) ZC + ("a< w1)(V(a))

(50) KP (#)

(51) ZFC

(52) ZFC + strongly inaccesible.

(53) ZFC + strongly Mahlo

(54) ZFC + {strongly n-Mahlo: n< w}

(55) ZFC + ("n < w)(stronglyn-Mahlo)

(56) ZFC + (weakly compact)

(57) ZFC + (indescribable)

(58) ZFC + (subtle):ZFC +there exists a subtle cardinal.  

(59) ZFC + (almost ineffable):ZFC +there exists an almost ineffable cardinal.  

(60) ZFC + (ineffable).

(61) ZFC + {n-subtle: n < w}

(62) ZFC + ("n < w)(n-subtle).

(63) ZFC + kÆw

(64) ZFC + ("n < w1)(kÆw)

(65) ZFC + 0#

(66) ZFC + ("x Πw)(x#):ZFC +“for all x containing omega, x# exists”.

(67) ZFC + kÆw1.

(68) ZFC + Ramsey.

(69) ZFC + Measurable

(70) ZFC + Concentrating Measurable

(71) ZFC + Strong

(72) ZFC + Woodin

(73) ZFC + Superstrong

(74) ZFC + Supercompact

(75) ZFC + Extendible

(76) ZFC + Vopenka

(77) ZFC + Almost Huge

(78) ZFC + Huge

(79) ZFC + Superhuge

(80) ZFC + ("n <w)(n-huge)

(81) ZFC + Rank into Itself

(82) ZFC + Rank + 1 into Itself

(83) VB + V into V




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