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希尔伯特梦后百年

已有 5246 次阅读 2016-4-13 19:00 |个人分类:超数学|系统分类:论文交流|关键词:希尔伯特纲要,公理集合论,哥德尔体系结构| 希尔伯特纲要, 公理集合论, 哥德尔体系结构


希尔伯特梦后百年


作者:张寅生


一、希尔伯特纲要 

 

    希尔伯特于1917年在苏黎世数学学会提出了数学公理化的主张。1922年。希尔伯特在汉堡的数学会议上提出了所谓的希尔伯特纲要。纲要的要点是:

   数学可以完全形式化;
   所以数学知识均可由有穷的公理系统的推到出来;
   证明系统应该实现不矛盾性(一致性、相容性);
   系统内的命题可以被判定出真假。
 

  ----这是一个美好的梦想。

   但是广为流传的说法是,1931年哥德尔《论〈数学原理〉及其相关系统的形式不可判定命题(I)》(汉语译文见张寅生著《证明方法与理论》,国防工业出版社,2015年)彻底击碎了希尔伯特之梦,因为哥德尔宣称任何一个相容性的证明系统,必然存在该系统不可证明或证伪的命题,即所谓的哥德尔第一不完备性定理。

现在,他身后的梦随风飘逝了吗?

在希尔伯特的墓碑上以铭文留给我们一句遗言:我们必须知道,我们必将知道!

现在,我们需要知道这个梦想的真实结局。

 

二、哥德尔之后实现希尔伯特之梦的两个方向

 

假如哥德尔第一不完备性定理成立,那么,希尔伯特纲要是否不可能实现呢?

细想一下,至少可以通过两条道路实现希尔伯特纲要!

第一条道路,可以通过建立公理集合论限制悖论的产生。因为证明哥德尔不完备性定理的哥德尔语句(如“此句不可证”)是悖论,可以通过消除悖论的方法得以解决。虽然解悖方法可以有多种,但是集合论公理系统是针对数学对象及其命题构建的,专门适用于数学证明。

第二条道路,在公理集合论的前提下,构造不同的证明系统,以此逐渐逼近希尔伯特梦想的目标。

这两条道路走下来,到今天差不多已近百年,应该说,极大地实现了希尔伯特的梦想,至少在理论和实践上证实了希尔伯特梦想是可实现的-----尽管需要剔除悖论。哥德尔第一不完备性定理提出时希尔伯特还活着,他略微退让了一下,以躲过哥德尔第一不完备性定理之类的难题------毕竟还有无数的数学命题不是哥德尔语句!

 

三、公理集合论的进化谱系

 

ZFC是第一个公理集合论,它几乎被当作公理集合论的标准。它是早于哥德尔不完备性理论之前(Z,1908,F,1922)提出的。Z代表策梅洛(Ernest Zermelo),F代表弗兰克Abraham A Fraenkel,C代表选择公理,这是斯克伦(Thoralf Skolem1922 补充的。截至当前,已有5个五个集合论公理系统,其概况如下,详情见《证明方法与理论》第13章:相容性理论(引自《蒯因文集3卷》,涂纪亮、陈波主编,人民大学出版社,2007

 

五个集合论公理系统一览

 

策梅洛(ZFC):(1908-1922

幂集公理,对集公理,分离公理,并集公理,外延公理无穷公理,附加(除选择公理),替换公理,基础公理

 

现代类型论(塔斯基、哥德尔,1931年起):

概括公理,外延公理,附加(除选择公理),无穷公理 


新基础(NF):(蒯因,1937

概括公理,外延公理

 

数理逻辑(ML蒯因,1940):

概括公理,集合性分层的,外延公理。

 

·诺依曼-贝尔奈斯(von NeumannBernaysGödel SetTheoryNBG1925-1954):

概括公理,幂集、对集、并集公理,外延公理,无穷公理,替换公理,基础公理;概括公理;替换公理

  

5个五个集合论公理系统能够完全克服至少哥德尔语句类型的悖论吗?可以。但是“杀伤力”仍然过大。虽然禁止了哥德尔语句进入证明系统,但是这些集合论公理没有一个标准甄别合理的“自引用”与悖论之间的界限。即使能够甄别,悖论有多种,尚没有彻底的悖论解决方案。因此,到目前为止,数学的证明系统仍有“孤岛”,证明系统不得不绕开它们。

 

四、哥德尔体系结构

 

根据哥德尔第二不完备性定理,一个证明系统的理论是否一致(不矛盾),不能在本系统中得以证明,而需在更强的证明系统中得以证明。设T1T2 分别是两个证明系统的理论(公理或定理)。那么,根据哥德尔第二不完备性定理,“T1是一致的”如果在T2 中得证,就说T2强于T1,写作T1 T2。这样,如果构建了一个T的升序列T1 T2……就构造了一个一致性强度不同的证明系统,这个系统可称之为哥德尔体系结构。事实上,经过若干年的努力,一个算术哥德尔体系结构已经构建起立了。

进一步的研究表明,算术公理系统除具有良序特征(即算术哥德尔体系结构的特征)外,一个证明系统对于所证命题的确定性也是显而易见的。令t表示为一个给定的数学定理,St 是证明t的最弱的二阶算术子系统,下列现象是可观察到的:

给定t,常常可以确定St(即所谓逆推);即t® (Stt) ,且不存在SSt使得(St)。换言之,如果证明系统St足够小,那么更小的证明系统S就证明不出来t了。因此可以确定一个大小正好,恰好能证明t的证明系统St。这也是逆推数学的主要目标之一和核心思想之一。

关于“算术”概念需要明确一下。在数理逻辑之中,“算术的”是指命题不包含量词约束的。虽然算术公理系统很多都陈述有量词约束的命题,如一阶命题的,通常f是不含量词的;在这个意义上,"x$yf(x,y)是关于算术命题f的命题,仍视为算术命题。这样算术命题就完全等同于数学命题了。因此,数理逻辑学中的“算术的”在研究范围上看大致可以等同于(描述算术的数理逻辑语言所描述的)数学领域,除非有特别约定。

哥德尔体系结构目前构造了83个算术公理体系。由数学家Stephen. G.Simpson建于1997年的数学基础论坛(Foundation of Mathematics,FOM)是关于数学基础的论坛,目前由数学家Matin Davis主审。FOM授权我发布的当前的哥德尔体系结构目前构造了83个算术公理体系。详见《证明方法与理论》附录1,由我加了注释和解释。其弱于PA(皮亚诺算术公理系统),也就是由弱至强的前8个算术公理系统如下:

(1) PFA:Peano Functional Arithmetic:the system that removes induction from PA without adding exponentiation.  

(2) EFA: Exponential Function Arithmetic.

(3) SEFA:Superexponential FunctionArithmetic.  

(4) PRA:Primitive RecursiveArithmetic.

(5) RCA0:Recursive ComprehensionAxiom,subscript,“0”indicates restrict induction.

(6) IΣ2:Induction ofΣ2,the subscript “2” indicates one occurance of $-" for the variable in a Skolem prenex form of the

induction formulas f:$z1"z2f (z1,z2).

(7) IΣ3.:The same asIΣ2with exception $z1"z2$z3f (z1,z2,,z3).

(8) PA:Peano Arithmetic.


五、结论

 

考虑到上述的算术公理系统远远超出了自然数结构,不但包括了传统的算术,还扩展到了超穷算术、高阶逻辑运算、图灵计算,计算对象除超穷数,还扩展到了拓扑点集,总之极大地扩展了公理系统。因此应该说,希尔伯特的梦想,除了少量的悖论孤岛命题结构之外(这在希尔伯特生前已经做了让步),已经基本实现了。

 

 

 

 

 




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3 武夷山 林建荣 yzqts

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