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数学证明方法有多少种?

已有 10706 次阅读 2016-4-10 17:35 |个人分类:超数学|系统分类:观点评述|关键词:证明方法| 证明方法

这个问题难以回答---------首先涉及如何定义一种数学证明方法,然后才可统计。

希尔伯特对数学证明的定义是:一个证明是一个格式,它本身必须清楚地呈现在人们面前;它根据推理模式,由一系列断定组成,这里前提S或是一条公理(或一些公理),或是在展开中先已出现的证明格式的结尾公式

类似地,哥德尔对数学证明给出的定义是:证明在形式上不过是公式的有穷序列(具有一些特殊的可定义的特征)

这样看来,可以把数学证明定义为一个逻辑推理的过程,推理的结果是被证命题(证明结论)。由此得出一个重要结论:数学证明方法可以形式化为逻辑表达式,特别是逻辑蕴含式(也就是“如果那么”的结构,直至结论)。如果两个证明的序列(逻辑表达式结构)形式上本质上没有差异,则可视为是一个证明方法;否则可视为两个证明方法。

在明确证明方法的定义后,可公式化这些逻辑结构,列为一个独立的形式化方法,然后统计它有多少种。当然统计的样本要足够全,要在古今中外的数学证明实践中抽取。拙作《证明方法与理论》(张寅生著,国防工业出版社,2015. 作者信箱:zhangyinshengnet@sina.com)的证明方法部分就做了这样一个工作。结果归纳抽取了11种数学证明方法:

关系运算证明方法;三段论证明方法;数学归纳法;反证法;构造性证明方法;同态证明方法;解释性证明方法;系统化证明方法;截消证明方法;归结证明方法;自动化证明方法(其中,截消证明方法是系统化证明方法的特例;解释性证明方法是同态证明方法的特例)。

这个抽取结果与其他数学证明方法的分类、归纳结果比较如何?就作者看来,这个结果是当前归纳最全的数学证明方法,也就是说,这11个数学证明方法是史上最全的数学证明方法的集成。

下表是比较结果:表中的其他文献或多或少列出了各种数学证明方法,就当前的搜索结果,基本上囊括了当前国际国内数学证明方法论述著作了。经过作者逐一比较和借鉴,《证明方法与理论》包括了它们所说的方法(当然分类、名称、结构未必相同)。有的文献如孙宗明《数学证明方法》,所列的方法更多,但是因为这些方法没有形式化,因此或者在逻辑结构上不是独立的或可形式化的,或者可包含在《证明方法与理论》的其他方法中了。

当前对数学证明方法的分类和集成状况

作者(编者)

著作名称

所介绍的证明方法

萧文强

数学证明[5]

西方证明方法、中国的直观解释方法

张顺燕

数学的思想、方法和应用[6]

演绎法、分析与综合、归纳法、数学归纳法

孙宗明

数学证明方法[7]

演绎法和归纳法、直接证法和间接证法、综合法和分析法、循环证法、抽屉证法、定性证法、构造性证明、初等证明、机器证明、轮换证法、不动点法、摄动法、集合等同法、极大极小法、非综合几何法

林东岱李文林虞言林(主编)

数学与数学机械化[8]

吴方法

克林

元数学导论[9]

形式系统证法、自然演绎系统证法

Michael Sipser

计算理论导引[10]

构造性证明、归纳法、反证法三种方法

Danniel J.Velleman

How to prove it [11]

关系演算、数学归纳法

Ted Sundstrom

Mathematical Reasoning----Writing and  Proof [12]

直接证明、反证法、构造性证明

Peter J.Eccles

An Introduction to Mathematical  Reasoning----numbers, sets and function [13]

直接证明、反证法、构造性证明、归纳法

Robert S.Wolf

Proof, Logic and Conjecture  [14]

形式证明、非形式证明

Roman Garnier and John Talor

100% Mathematical Proof [15]

直接证明(反证法、双条件导出法)、存在与唯一性证明(构造性、非构造性证明)、形式系统证法、自然演绎系统证法、非形式证明

Herman Ruge Jervell

A course in proof theory [16]

归结方法、根岑的演绎方法及根岑树截消方法、模拟和博弈方法

Samuel R.Buss

An Introduction to Proof Theory [17]

根岑的演绎方法及根岑树截消方法

L.A.Harringgton etc. Editors

Harvey Friedman’s Research on the  Foundations of Mathematics [18]

反推数学方法(公理系统证明方法)

U.Kohlenbach

Applied Proof Theory:Proof  Interpretations and Their Use in Mathematics [19]

延伸证明方法(解释性证明方法)、证明挖掘方法(解释性证明方法)、截消证明方法

Samuel R. Buss

Handbook of Proof Theory -  [Studies in Logic and the Foundations of  Mathematics [20]

形式系统证法、自然演绎系统证法

Wolfram Pohlers

Proof Theory.The First Step into Impredicativity [21]

形式系统证法、自然演绎系统证法

Gaisi Takeuti

Proof Theory [22]

形式系统证法、自然演绎系统证法

Herman Ruge Jervell

A course in proof theory[23]

截消方法、模拟和博弈方法

Charles E

Introduction to Mathematical Proofs.A Transition [24]

直接证法、反证法、穷举证法、双蕴涵证法、全称量词证法、存在量词证法、数学归纳法

Sara Negri

Jan Von Plato

Proof Analysis [25]

形式系统证法、自然演绎系统证法




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