[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 61 (S45)

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第一段 (书中看着好多，誊抄后发现只是两句话~)

The preceding two articles show that if f(x) = 0 is solvable by radicals then its Galois group G has a sequence of subgroups G ⊃ G' ⊃ G'' ⊃ ... ⊃ G^(ν) such that...

---- 前两篇文章表明，如果 f(x) = 0 是根式可解的，则它的伽罗瓦群 G 有子群序列 G ⊃ G' ⊃ G'' ⊃ ... ⊃ G^(ν) 使得...

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注：书的作者 Edwards 把每一节称作 “article” (文章)，这表明他很可能来自欧洲 (确实只有欧洲才会出来像他这么好的人)。

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...each group G^(i) is a normal subgroup of prime index in its predecessor G^(i-1), and such that the final subgroup G^(ν) consists of the identity substitution alone.

---- (使得) 每个群 G^(i) 是前一个群 G^(i-1) 的正规子群 (指标为素数)，并使得最后的子群 G^(ν) 只由单位置换组成。

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注：上文中的 G'，G''，G^(ν) 和 G^(i) 是指带有上标 (而不是求导数或其它意思)。

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Indeed, for this one needs only to take the sequence of field extensions K ⊂ K' ⊂ K'' ⊂... ⊂ K^(μ) implied by the solution by radicals, ...

---- 确实，为此你只须取由根式解蕴含的域扩张序列 K ⊂ K' ⊂ K'' ⊂... ⊂ K^(μ)，...

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... to take the Galois groups of the equation f(x) = 0 reletive to each of the fields K^(i), and to disregard groups that coincide with their predecessors.

---- 以得到方程 f(x) = 0 关于每个域 K^(i) 的伽罗瓦群，并剔除与先前发生重复的群。

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注：从当前的域取出元素、对其开方，再添加回去；此时可能引起扩张，也可能不会引起扩张。对于引起扩张的情况，群可能变小，也可能不变；出现不变的情况，即意味着发生了重复的群，此时要剔除该重复的群。

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评论：方程根式可解意味着其伽罗瓦群有一个收缩到单位置换的正规子群序列，这是由域的渐次扩张引起的。期间可能出现重复的子群，此时要剔除它们。特别地，子群序列的长度和域扩张序列的长度不一定相等。

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第二段 (共 6 句话。5个短句，1个长句。)

A group G is said to be solvable if it has such a sequence of subgroups.

---- 群 G 称作是可解的如果它有这样的一个子群序列。

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Thus it has been shown that if an equation* f(x) = 0 is solvable by radicals then its Galois group is solvable.

---- 于是这就已经证明如果方程 f(x) = 0 是根式可解的，则它的伽罗瓦群是可解的。

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Galois showed that this necessary condition for solvability by radicals is also sufficient.

---- 伽罗瓦证明根式可解的这个必要条件也是充分的。

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More specifically, he showed that if G is the Galois group of f(x) = 0 over K and if G ⊃ G' ⊃ ... ⊃ G^(ν) is a sequence of of subgroups of G in which each G^(i) is a normal subgroup of prime index in its predecessor and G^(ν) = {identity}...

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---- 更具体地，他证明了，如果 G 是 f(x) = 0 在 K 之上的伽罗瓦群，并且如果 G ⊃ G' ⊃ ... ⊃ G^(ν) 是 G 的一个子群序列，其中 G^(i) 是其前面子群的素指标正规子群，并且 G^(ν) = {单位置换} ...

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...then there is a sequence of field extensions  K ⊂ K' ⊂ K'' ⊂... ⊂ K^(μ)  such that K^(μ) contains all the roots of f(x) = 0 and such that each extension K^(i-1) ⊂ K^(i) is obtained by adjunction of a pth root of a quantity of K^(i-1) for some prime p (depending on i).

---- 则存在一个域扩张序列 K ⊂ K' ⊂ K'' ⊂... ⊂ K^(μ) 使得 K^(μ) 包含 f(x) = 0 的所有的根，并且使得每个扩张 K^(i-1) ⊂ K^(i) 是由添加 K^(i-1)中的一个量的 p 次根而获得的，这里 p 是某个素数 (依赖于 i)。

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注：原文中有一处打字错误(见红色字体)，这里已经纠正。

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The main element in the proof of this fact is the proof of a converse of the proposition of S44.

---- 这一事实的证明之主要元素乃是 S44 中命题的逆之证明。

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This converse is the subject of the next article.

---- 这个逆命题是下一篇文章的主题。

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注：此处 “article” 实指 “节”。

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评论：此段对逆命题做了一个通俗的叙述。

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小结：这两段的作用是承上启下：总结了S44，并初步开启了逆命题。S45 读写完毕。

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