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[学习笔记] H.E. p.59 逐段温习之第五段

已有 460 次阅读 2020-9-15 15:07 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 

再逐段温习一遍 (之证明的第五段)。注:下文的黑体不代表向量,只是为了增加视觉效果。

.

G      H·Q

.

r       α^i

.

注:主对角在 K-世界,副对角在 K'-世界。

---- 开始只有 K-世界,G(X) 从 F(X) “解冻” 出来。

---- 从 K 里拿出 k 开 p 次方得 r,将其添加到 K,就得到 K'-世界。

---- 于是 H(X) 从 G(X) 里 “解冻” 出来,商为 Q(X)...

---- 即 G(X) = H(X, r)·Q(X, r),这就是 r-分解。

---- 而本原作用保持 r-分解,即 G(X) = H(X, α^i·r)·Q(X, α^i·r),i = 0, 1, ..., p-1。见注1。

---- 把 G(X) 的 p 个写法做连乘,得 G(X)^p = h(X)q(X)。见注2。

---- 上式左右两边的系数都在 K-世界。

---- 此时 G(X) 不可约,G(X)^i 显然与之有公共根。

---- 由伽罗瓦的引理1,G(X)^p 可以被 G(X) 整除 p 次。

---- 从而得 1 = h(X)q(X)/G(X)^p。

---- 上式左端是 K 中的数,则右端分母上的 G(X)^p 必定会约分掉。

---- 不妨设 h(X) 约分掉 j 个,q(X) 约分掉 p-j 个。

---- 即 h(X) = C·G(X)^j,q(X) = 1/C· G(X)^(p-j)。

---- 对照橙色式子两边的阶数,得 p·deg H = j·deg G

---- 或写成 p = (deg G/deg H) · j。见注3。

---- deg G/deg H 是群和子群的元素之比,记作 index。

---- 由于 p 是素数,则 index 只能为 p 或 1 (此时 j = 1 或 p)。

.

注1:原作在此处有明显的笔误 (“for i = 1, 2, ... p” 应改为 “for i = 0, 1, 2, ..., p - 1”)。

注2:此式整个都在 K-世界中:第二段专门论证了 h(X) 的系数在 K 中;此处 q(X) 的系数也在 K 中,这可由 q(X) = G(X)/h(X) 直接得到。

注3:此式表明 deg G/deg H (即 index) 是个整数。

.

又注:此段的关键技术已用先导线标出 (粗红体)。

.

小结:证明的第五段温习完毕。




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2 郑永军 李学宽

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