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这个地方肯定是个梗!

已有 670 次阅读 2020-9-14 18:57 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题出自内文。]

这会儿想分析一个问题...

* * *

在第六段(参整理版),提出 v 和 u(=t) 可以用多项式联系:即令 v = ψ(u),其中 ψ 是 K 上的多项式。u 和 v 都是 H(X, r) 的根,同时 u = t。

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由于 H(X, r) 是 F(X) 在 K' 之上的不可约因式,则 H(X, r) 的根也都是 F(X) 的根,而 F(X) 就是用 t 的 n! 个版本作为根构建的多项式。 这意味着,v 只是 t 的一个置换版。

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考虑一个简单的方程,它有两个根 a 和 b。令 u = t = Aa + Bb。此时与 u 不同的根只有 v = Ab + Ba。问题:如何把 v 表示成 u 的多项式 ?

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Aa + Bb --> Ab + Ba ?

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这似乎是不可能的事情!因为 Aa + Bb 作为变量 u 是一个整体,顶多给它乘以某个系数,或者它自己乘以自己。假如给 u 乘以 B/A,则有 ——

B/A·u = Ba + (B^2/A) b = Ab + Ba + (B^2/A)b - Ab = v + (B^2/A - A) b ==> v = B/A·u -  (B^2/A - A) b

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上式的确得到 v 关于 u 的多项式,但橙色部分含有根 b,如何保证它不跑出 K ? 如果 b 在 K 里就不成问题了。

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总之, v 能够表达为 u 的多项式只是个假定,它相当于用多项式来实现某个置换的作用。这很惊人,也很有吸引力,但似乎不是无条件的。这个地方肯定是个梗!


注:邮件发出后不久,想明白了!见如下内容 (另一封群邮件)。


哇呀呀,想出来了!橙色部分有个根 b,它可能跑出 K,但是 b =φb(t),这是之前已经给出的 (cf.伽罗瓦阵列那部分)。特别是,φb(t) 的系数在 K 中。

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这里只须要把 t 换成 u 即可。

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(尽管是这样,此处最好做一个引理,给出明显的证明)。

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又:刚才发出的内容纠正了几处笔误,见订正。




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3 郑永军 张忆文 杨正瓴

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