[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 16:00

第一段

Galois states in his Propositions II and III the main facts about the way in which the Galois group is reduced when the field of known quantities K is extended.

---- 伽罗瓦在他的命题 II 和 III 里陈述了关于当已知量的域 K 扩张时伽罗瓦群缩小的方式的主要事实。

.

The only case that will be needed in what follows is the one in which K is extented by the adjunction of a pth root when it already has pth roots of unity.

---- 接下来需要的唯一情况是，K 通过添加一个 p 次根来扩张，假定 K 包含 p 单位次根。

.

For Galois' more general propositions see Exercises 6 and 7.

---- 关于伽罗瓦的更一般的命题，见练习 6 和 7。

.

第二段

Proposition. Consider, as above, the Galois group of an equation f(x) = 0 over the field K.

---- 命题. 如前考虑域 K 之上方程 f(x) = 0 的伽罗瓦群。

.

注：over 翻译为“之上”，on 翻译为 “上”。

.

Let p be a prime, let K contain pth roots of unity, and let K' ⊃ K be the extension of K obtained by adjoining the pth root of an element k of K.

---- 令 p 为素数，令 K 包含单位 p 次根，并令 K' ⊃ K 为 K 的扩张，由添加 K 的元素 k 的 p 次根得到。 

.

Then the new Galois group (that of f(x) = 0 over K') is either the same as the old one or it is a normal subgroup of index p.

---- 则新的伽罗瓦群 (属于域 K' 之上的方程 f(x) = 0) 要么跟原来的一样，要么是索引为 p 的正规子群。

.

玩一下四角图

K        K'

f         G

注：方程为 “王”，群为 “相”，域为 “侯”，扩域为 “将”。

---- “王” 和 “相” 决定格局，“侯” 提供资源，“将” 是关键技术。

.

评论：命题是有了，也可以去证明。可是...这个命题是如何发现的呢 ?

.

PROOF. As above, let t be a Galois resolvent of f(x) = 0, let F(X) = ∏(X - St) be the polynomial of degree n! ...

---- 证明. 如前，令 t 是 f(x) = 0 的伽罗瓦预解式，令 F(X) = ∏(X - St) 为 n! 阶多项式...

.

...with coefficients in K of which the n! distinct versions of t in K(a, b, c, ...) are roots, and let G(X) be the irreducible factor of F(X) over K of which t is a root.

---- 其系数在 K 中，而 t 在 K(a, b, c, ...) 中的 n! 个不同的版本是其根，并令 G(X) 是 F(X) 的不可约因式 (K 之上)，并以 t 为根。

.

玩一下四角图

F(X)     G(X)

f(x)         t

.

17:25 -- 以上花费3个番茄钟，其中两个执行度约 60%。

//17:18

Moreover, let F(X) be factored into irreducible factors over K' and let H(X) be the factor of which t is a root.

---- 进一步，令 F(X) 分解为 K' 之上的不可约因式之乘积，并令 H(X) 为那个以 t 为根的因式。

.

Since K' ⊃ K, Galois' Lemma 1 implies that H(X) divides G(X).

---- 由于 K' ⊃ K，伽罗瓦的引理1蕴含 H(X) 整除 G(X)。

.

评论：这意味着 H(X) 的根都是 G(X) 的根，即：前者的根集是后者的子集。

.

A presentation of the old Galois group (that of f(x) = 0 over K) is obtained by expressing the roots of f(x) = 0 as rational functions of t with coefficients in K -- say a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ... -- and listing the arrangementsφa(t'), φb(t'), φc(t'), ...  of a, b, c, ... as t' ranges over the deg G distinct roots of G(X) = 0.

---- 原来的伽罗瓦群 (属于 K 之上方程 f(x) = 0) 的表述是这样获得，即通过将 f(x) = 0 的根表达为 t 的系数在 K 中的有理函数 -- 如 a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ...  -- 并列出  a, b, c, ...  的排列φa(t'), φb(t'), φc(t'), ... 而 t' 取遍 G(X) = 0 的 deg G 个不同根。

.

Since K' ⊃ K, a presentation of the new group (that of f(x) = 0 over K') is obtained, using the sameφ's, when t' is subjected to the stronger condition that it be a root of H(X).

---- 由于 K' ⊃ K，新群 (属于 K' 之上的方程 f(x) = 0) 的表述是用同样的那些φ 获得，而此时 t' 作为 H(X) 的根而受到更强的约束。

.

注：φ的系数在 K 中，这一点没变。

//18:09

// 15: 55

Thus, the new group is the subgroup of the old group presented by the deg H rows of the presentation of the old group corresponding to roots of H(X) (a subset of the roots of G(X)).

---- 这样，新群是原群的子群，由原群的表述中的 deg H 行表述，对应于 H(X) 的根 (系 G(X) 的根的子集)。

.

It is to be shown that either deg G = deg H, or deg G = p deg H and the subgroup is a normal one.

---- 只须证明要么 deg G = deg H，要么 deg G = p deg H 并且该子群是正规的。

.

//17:03

.

评论：以上是证明部分的第一段 (准备部分)。