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[学习笔记] H.E. p.59

已有 746 次阅读 2020-8-28 17:14 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 16:00

第一段

Galois states in his Propositions II and III the main facts about the way in which the Galois group is reduced when the field of known quantities K is extended.

---- 伽罗瓦在他的命题 II 和 III 里陈述了关于当已知量的域 K 扩张时伽罗瓦群缩小的方式的主要事实。

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The only case that will be needed in what follows is the one in which K is extented by the adjunction of a pth root when it already has pth roots of unity.

---- 接下来需要的唯一情况是,K 通过添加一个 p 次根来扩张,假定 K 包含 p 单位次根。

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For Galois' more general propositions see Exercises 6 and 7.

---- 关于伽罗瓦的更一般的命题,见练习 6 和 7。

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第二段

Proposition. Consider, as above, the Galois group of an equation f(x) = 0 over the field K.

---- 命题. 如前考虑域 K 之上方程 f(x) = 0 的伽罗瓦群。

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注:over 翻译为“之上”,on 翻译为 “上”。

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Let p be a prime, let K contain pth roots of unity, and let K' ⊃ K be the extension of K obtained by adjoining the pth root of an element k of K.

---- 令 p 为素数,令 K 包含单位 p 次根,并令 K'  K 为 K 的扩张,由添加 K 的元素 k 的 p 次根得到。 

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Then the new Galois group (that of f(x) = 0 over K') is either the same as the old one or it is a normal subgroup of index p.

---- 则新的伽罗瓦群 (属于域 K' 之上的方程 f(x) = 0) 要么跟原来的一样,要么是索引为 p 的正规子群。

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玩一下四角图

K        K'

f         G

注:方程为 “王”,群为 “相”,域为 “侯”,扩域为 “将”。

---- “王” 和 “相” 决定格局,“侯” 提供资源,“将” 是关键技术。

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评论:命题是有了,也可以去证明。可是...这个命题是如何发现的呢 ?

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PROOF. As above, let t be a Galois resolvent of f(x) = 0, let F(X) = (X - St) be the polynomial of degree n! ...

---- 证明. 如前,令 t 是 f(x) = 0 的伽罗瓦预解式,令 F(X) = ∏(X - St) 为 n! 阶多项式...

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...with coefficients in K of which the n! distinct versions of t in K(a, b, c, ...) are roots, and let G(X) be the irreducible factor of F(X) over K of which t is a root.

---- 其系数在 K 中,而 t 在 K(a, b, c, ...) 中的 n! 个不同的版本是其根,并令 G(X) 是 F(X) 的不可约因式 (K 之上),并以 t 为根。

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玩一下四角图

F(X)     G(X)

f(x)         t

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17:25 -- 以上花费3个番茄钟,其中两个执行度约 60%。

//17:18

Moreover, let F(X) be factored into irreducible factors over K' and let H(X) be the factor of which t is a root.

---- 进一步,令 F(X) 分解为 K' 之上的不可约因式之乘积,并令 H(X) 为那个以 t 为根的因式。

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Since K' ⊃ K, Galois' Lemma 1 implies that H(X) divides G(X).

---- 由于 K' ⊃ K,伽罗瓦的引理1蕴含 H(X) 整除 G(X)。

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评论:这意味着 H(X) 的根都是 G(X) 的根,即:前者的根集是后者的子集。

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A presentation of the old Galois group (that of f(x) = 0 over K) is obtained by expressing the roots of f(x) = 0 as rational functions of t with coefficients in K -- say a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ... -- and listing the arrangementsφa(t'), φb(t'), φc(t'), ...  of a, b, c, ... as t' ranges over the deg G distinct roots of G(X) = 0.

---- 原来的伽罗瓦群 (属于 K 之上方程 f(x) = 0) 的表述是这样获得,即通过将 f(x) = 0 的根表达为 t 的系数在 K 中的有理函数 -- 如 a = φa(t), b = φb(t), c = φc(t), ...  -- 并列出  a, b, c, ...  的排列φa(t'), φb(t'), φc(t'), ... 而 t' 取遍 G(X) = 0 的 deg G 个不同根。

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Since K' ⊃ K, a presentation of the new group (that of f(x) = 0 over K') is obtained, using the sameφ's, when t' is subjected to the stronger condition that it be a root of H(X).

---- 由于 K' ⊃ K,新群 (属于 K' 之上的方程 f(x) = 0) 的表述是用同样的那些φ 获得,而此时 t' 作为 H(X) 的根而受到更强的约束。

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注:φ的系数在 K 中,这一点没变。

//18:09

// 15: 55

Thus, the new group is the subgroup of the old group presented by the deg H rows of the presentation of the old group corresponding to roots of H(X) (a subset of the roots of G(X)).

---- 这样,新群是原群的子群,由原群的表述中的 deg H 行表述,对应于 H(X) 的根 (系 G(X) 的根的子集)。

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It is to be shown that either deg G = deg H, or deg G = p deg H and the subgroup is a normal one.

---- 只须证明要么 deg G = deg H,要么 deg G = p deg H 并且该子群是正规的。

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//17:03

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评论:以上是证明部分的第一段 (准备部分)。




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1 杨正瓴

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