《Galois theory》

H.E. p. 57 (S43)

* * * ???

第三段

If the expression of a root involves taking a jth root and j is not prime, then j = j1j2 where j1 and j2 are smaller than j, ...

---- 如果根的表达式涉及取 第 j 个根，而 j 不是素数，则 j = j1j2 其中 j1 和 j2 比 j 小，...

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... and instead of taking a jth root one can take a j1th root of a j2th root.

---- 代替第 j 个根的是，取第 j2 个根的第 j1 个根。

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评论：“jth root” 前面出现不定冠词，或有别的含义(?)。

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If j1 or j2 is not prime, it can be further decomposed, until in the end the expressions of the roots of f(x) = 0 involve taking roots of prime order only.

---- 如果 j1 或 j2 不是素数，则可以继续分解，直到 f(x) = 0 的根的表达式最终只涉及取素数次序的根。

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Moreover, since, as Gauss showed,* the pth roots of unity for any prime p can be expressed in terms of radicals, ...

---- 而且，既然 (如高斯证明的那样) 任何素数 p 的第 p 个单位根都可以表达为根式，...

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... use can be made of pth roots of unity in a solution by radicals.

---- 那么在根式解中就可以用到第 p 个单位根。

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注：这个后半句的 “use can be made of” 猛一看会让人会不明白。

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This means that, whenever a pth root of a known quantity is taken, all pth roots of the quantity are known, ...

---- 这意味着，只要取到某个已知量的一个 第p个根，则该量的所有 第p个根 就都知道了...

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... because all others are obtained from any one by multiplying by pth roots of unity.

---- 因为所有其它的可以通过给任何一个乘以 第 p 个单位根来得到。

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小结：S43 是个概论(共一页半)，包括七段话：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。

* * *16:19

 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ Ø ∀ ∃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ 1 2 3 ᵈ ⁺ ₊ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .