《Galois theory》

H.E. p. 53

* * * ??

In order to deduce (B) and (C) from Proposition 1, it is helpful to observe:

.

Corollary. Let t be a Galois resolvent, let t' be one of its conjugates, and let S be the substitution of the roots which carries the row of the above table (1) corresponding to t to the row corresponding to t'.

---- 令 S 为诸根的一个置换，它将 t 对应的行变换为 t' 对应的行.

---- 此处 t' 泛指第一行以外的任意一行.

.

In short, let S(a) = φa(t'), S(b) = φb(t'), S(c) = φc(t'), ... .

---- S 可看作变换.

.

Then S can be extended to an automorphism of the entire field K(a, b, c,... ) over K, that is, a function S from K(a, b, c,... ) to itself which is the identity map on K, which carries sums to sums, products to products, and agrees with the origianl S for the roots a, b, c, ... .

---- S 能被扩展为 K 上的整个域 K(a, b, c,...) 的自同构，即 S 是 K(a, b, c,... ) 到它自己的函数，在 K 上是恒等映射，并把和带到和，积带到积，并与原来的S一致 (对于根 a, b, c,... ).

.

评论：以上是推论的叙述部分. (下文是证明部分).

.

Proof. An element of K(a, b, c,... ) can be written as a polynomial in t.

---- K(a, b, c,... ) 中的成员可以写成 t 的多项式.

.

Since t can be assumed to be a linear polynomail in a, b, c, ..., an element of K(a, b, c,... ) can therefore be written as a polynomial in a, b, c, ... .

---- 由于 t 可以假定成关于 a, b, c, ... 的 (n 元) 线性多项式，因此 K(a, b, c,... ) 中的成员可以写成关于 a, b, c, ... 的 (n 元) 多项式.

.

In other words, any given element of K(a, b, c, ...) can be written in the form Ψ(a, b, c, ...) where Ψ is a polynomial in n variables with coefficients in K.

---- 即 K(a, b, c, ...) 中的成员可以写成 Ψ(a, b, c, ...)，Ψ 是系数在 K 中的 n 元多项式.

.

评论：以上给出了 K(a, b, c, ...) 中元素的形式 Ψ(a, b, c, ...) 作为准备. (这是证明的第一步).

.

If there is an automorphism extending S, it clearly must carry this element to Ψ(Sa, Sb, Sc, ...).

---- 如果存在 S 的自同构扩展，显然该自同构必定把该元素带到 Ψ(Sa, Sb, Sc, ...).

.

评论：看不出 “显然” 在哪里... 

---- S: Ψ(a, b, c, ...) --> Ψ(Sa, Sb, Sc, ...).

---- 此处假定 S 已经扩展为自同构，它保持和与积.

---- 而 Ψ(a, b, c, ...) 是关于诸根 a, b, c, ... 的 n 元多项式.

---- 即 Ψ(a, b, c, ...) 是关于诸根 a, b, c, ... 的和与积.

---- 当 S 作用到 Ψ(a, b, c, ...) ，按照自同构的定义，就得到  Ψ(Sa, Sb, Sc, ...).

(原句应再次强调自同构的定义，并指出Ψ(a, b, c, ...) 是关于诸根 a, b, c, ... 的和与积).

.

One could define the effect of the automorphism on the given element to be Ψ(Sa, Sb, Sc, ...) if it were known that this definition was independent of the choice of the representation Ψ(a, b, c, ...) of the given element.

---- 给定元素上的自同构效用可以 定义为 Ψ(Sa, Sb, Sc, ...)，如果知道该定义与给定元素的表达形式 Ψ(a, b, c, ...) 的选择无关. 

.

评论：这一句最为关键，涉及到 “做定义” 的原则。这个事情暂时理解不了 (?).

---- 现在明白了，所谓 “ in dependent of the choice...” 只是说，这样定义不会违背 “映射” 的基本要求 (即不会出现 “一对多” 的情形)。参见下一条评论的黑体部分。

.

But this follows immediately from Proposition 1 because if Ψ(a, b, c, ...) = Φ(a, b, c, ...) then their difference is 0, which lies in K, and by Proposition 1 the substitution S of the roots leaves their difference unchanged, that is, Ψ(Sa, Sb, Sc, ...) = Φ(Sa, Sb, Sc, ...), as was to be shown.

---- 但由命题1立刻得到这一点，因为如果 Ψ(a, b, c, ...) = Φ(a, b, c, ...) 则它们的差为 0，从而此差在 K 中，而由命题1诸根的置换 S 不会改变此差，即 Ψ(Sa, Sb, Sc, ...) = Φ(Sa, Sb, Sc, ...)，得证。

.

评论：此句假设 Ψ(a, b, c, ...) = Φ(a, b, c, ...)，意味着 Ψ 和 Φ 是不同的映射 (尽管两者都是诸根的多项式)，但 Ψ 和 Φ 对诸根的作用结果为同一数值. (其余推理不难理解). 

---- 此句的意图仅为确认：像不同时，原像也不同 (从而所定义的映射是 “合法” 的).

.

加评：总体而言，本来 S 只是作用于诸根的置换。

---- 后来 (出于需要) 也把 S 的作用实现到 K(a, b, c, ...) 上了。

---- 上文只是论证了这样做不会有问题。

---- 但是，此处的做法是 “硬性” 规定呢，还是自然的蕴含呢？

---- 应该是前者 (即硬性规定).

---- 换句话说，S 本来只对诸根有作用，而对 K(a, b, c, ...) 的作用没有定义，但是出于需要 (即进入 Ψ 内部做置换的需要)，赋予了 S 自同构的定义，同时 S 仍然具有置换的效用。

---- 由于这样做了以后带来了“好处”，也解决了问题，于是也就合理了！

.

加评：已经知道，根的全排列置换并非总是形成 Galois 群，而是要经过自同构 “筛选” 后才得到 Galois 群.

---- 不过我感到，通过 resolvent 得到的总是 Galois 群 (待考). 

---- 这样 Galois 本人甚至没有隐含地用到自同构的运算 (待考).

.

小结：给出辅助引理，即 S 扩展为自同构型的置换.

* * *??