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《Galois theory》

H.E. p. 52

* * * 17:30

(略去一段)

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Proposition 1. Let Ψ(U, V, W, ...) be a polynomial in n variables with coefficients in K.

---- 设立系数在 K 中的 n 元多项式 Ψ(U, V, W, ...).

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Let Ψt' be the element of K(a, b, c,...) obtained by setting U = φa(t'), V = φb(t'), W = φc(t'), ... in Ψ.

---- 设 Ψt' 为 K(a, b, c, ...)  的元素，即对 Ψ 的变量取值 U = φa(t'), V = φb(t'), W = φc(t'), ... .

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In other words, for U, V, W, ... one substitutes the arrangement of the roots given in the row of the above table (1) corresponding to t'.

---- 即 U, V, W, ... 替换为 阵列(1) 中 t' 对应的行.

注：按前文，阵列(1) 的诸行都是根的排列.

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Similarly, let Ψt, Ψt'', Ψt''', ... be defined by substituting the corresponding row.

---- 类似地有 Ψt, Ψt'', Ψt''', ... .

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Then Ψt is in K if and only if the elements Ψt, Ψt', Ψt''... are all equal.

---- 则 Ψt ∈K 当且仅当 Ψt, Ψt', Ψt'' 都相等.

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Loosely speaking, Ψ(a, b, c, ...) is a known quantity if and only if it is invariant under all the substitutions of the Galois group.

---- 大略地说，Ψ(a, b, c, ...) 是已知量 <==>  它在 Galois 群下不变.

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评论：整个命题就是最后一句话.

---- 前一句只是给出更精确的表述 (为此准备了前面几句).

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Proof. Substitute U = φa(X), V = φb(X), W = φc(X),... in to obtain a polynomial Ψ*(X) with coefficients in K.

---- 用复合的办法把多元多项式 Ψ 转为一元多项式 Ψ*.

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If Ψt is in K then Ψ*(X) - Ψt is a polynomial with coefficients in K of which t is a root.

---- 若 Ψt 在 K 中(?)， 则 Ψ*(X) - Ψt 是系数在 K 中的多项式，且其根为 t.

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By Lemma 1, G(X) divides Ψ*(X) - Ψt, and therefore t' is a root of this polynomial when t' is any root of G.

---- 由引理1，G(X) 整除 Ψ*(X) - Ψt，因此 G 的任何根 t' 都是此多项式的根.

(评论：引理1起到 “传输” 根的作用).

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Thus Ψt' - Ψt  = 0 and, since t' was arbitrary, Ψt', Ψt''... are all equal to Ψt.

---- 于是 Ψt' - Ψt  = 0, 并且因 t' 是任意的，Ψt', Ψt'' 都等于 Ψt.

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Conversely, if Ψt, Ψt', Ψt''... are all equal and if there are k of them then Ψt = 1/k [ Ψt+ Ψt' + Ψt'' + ... ] = 1/k [ Ψ*(t) + Ψ*(t') + Ψ*(t'') + ...].

---- 反之，若诸Psi 全相等，则其中任何一个都等于其余的平均.

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This is a symmetric polynomial in the roots t, t', t'', ... of G(X) and can therefore be expressed in terms of the coefficients of G(X).

---- 这是 G 的根 t, t', t'',... 的对称多项式，因此(?)可表达为 G 的系数.

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Since these coefficients are in K, it follows that Ψt is in K, as was to be shown.

---- 由于这些系数在 K 中，则 Ψt 在 K 中，得证.

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评论：技巧在于引入多元多项式，以及相应的复合构造 (即代入Galois群的诸行并看作多项式).

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小结：给出了命题1及证明(留了两个疑问).

* * *21:30