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“相信” 比 “兴趣” 深刻的多

已有 800 次阅读 2020-7-20 18:14 |个人分类:[Graduate Gate]|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题是另拟的。]

《Galois cohomology》

* * * 16:50

... and this functor verifies the following axioms:

---- 这一函子符合如下公理:

.

评论:这里所说的函子就是 A(K).

.

 (1)  A(K) = lim> A(Ki), for Ki running over the set of sub-extensions of K of finite type over k.

---- A(K) 是 A(Ki) 的 (某种) 极限.

---- “>” 代表向右的箭头 (放在 lim 下方).

---- Ki 在 K 的子扩展集上“跑”.

---- “finite type” 该是指 K 的属性.(?)

---- “over k” 该是关乎 K. (?)

.

评论:有时在一长串 “of” 中隶属关系会显得模糊.

.

玩一下四角图:

A(Ki)      A(K)

.

 k              K

.

(2)  if K ~> K' is an injection, the corresponding morphism A(K) ~> A(K') is also an injection.

---- 若 K ~> K' 是单射,则 A(K) ~> A(K') 也是单射.

---- “injection” 意思是单射.

---- “morphism” 中译是“态射”.

(“态射”是指保持 “主结构” 的映射)

.

评论:简单讲,函子的“态射”保持单射.

.

玩一下四角图:

A(K)  ~>  A(K')

.

 K     ~>      K'

.

(3)  If K'/K is a Galois extension, one has A(K) = H (Gal(K'/K), A(K')).

---- 若 K'/K 是 Galois 扩展,则 A(K) 成为 Galois cohomology.

---- A(K) 的样子是 H (Gal(K'/K), A(K')).

.

评论:k “拔高”为 K, 而 K “拔高” 为 K'.

---- 原本是考虑 K/k 这样的 Galois 扩展.

---- 现在替换了一下.

---- 换句话说,K/k 不必是固定的.

.

玩一下四角图:

A(K')        H = A(K)


 K'/K       Gal

.

评论:A(K) 和 A(K') 之间只差了个 Galois 群作用.

.

[This makes sense, because the group Gal(K'/K) acts --- functionally --- on A(K'). ...

---- 群 Gal(K'/K) 泛函地作用于 A(K') 故而 (3) 有意义.

.

Moreover, axiom (1) implies that this action is continuous.]

---- 公理 (1) 蕴含 该作用是连续的.

.

小结:之前的准备和这里的论述只是说明 “K/k 不固定更好”.

---- 具体办法是把 A(X) 放到函子的上下文里.

* * * 18:08





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2 郑永军 王安良

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