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“执行定理”的证明 (遗忘点)
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随机温习...
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通过默写筛选出 “遗忘点”, 用它们制作填空题.
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“执行定理”的叙述(默写).
---- 设 d, r 为自然数, eps 为正实数.
---- 则存在正数 t 只依赖于 d, r, eps 满足如下.
---- 假设
* (X, B) ~ projective, eps -lc.
* A ~ very ample, A^d ≤ r.
* A - B ~ ample;
* M ~ 非负, R-Cartier R-divisor, |A - M| ≠ Ø.
---- 则有
* lct(X, B, |M|) ≥ lct(X, B, |A|) ≥ t.
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执行定理的证明(默写).
Para. 1.
1. |A - M| ≠ Ø ==> 存在非负 N, 使 A - M ~ N.
2. 即 A ~ M + N. ( “~” 看做广义的 “=” )
3. 于是 lct(X, B, |M|) ≥ lct(X, B, |M + N|) = lct(X, B, |A |).
(小集合的 lct 反而大)
Para. 2a.
1. 由 A 甚丰, 以及 Aᵈ ≤ r ==> X 属于有界族.
2. 取 消解φ: W --> X 使 (W, Γ) 属有界配对族.
其中 Γ 是超常除子之和 Eφ.
3. 取 X' 为 (W, δΓ) 的极小模型.
其中 δ = 1 - ε/2.
4. 由 _____ Cartier, 得 (X, 0) eps-lc.
5. 于是有 Kw + Γ = φ*Kx + E.
其中 E 在 X 之上 effective.
6. 由负性引理, E 在 X' 上 contractive.
7. 故此, X' --> X 系 Q-factorial.
Para. 2b.
1. 若 X 非 Q-factorial. 则 X' 不唯一.
2. 可选择 W 使 X' 属于有界族.
3. 设 A' 和 Kw + B' 为 A 和 Kx + B 的 pullback.
4. 选 H' very ample (on X'), H'^d ≤ r 且 H' - A' ample.
5. 由 A' - B' nef 得 H' - B' ample.
6. 于是 lct(X, B, A) = lct(X', B', |A'|) ≥ lct(X', B', |H'|).
7. 用 X', B', H' 替换 X, B, A; 相应地替换 r.
8. 于是可以假定 X 系 Q-factorial.
Para. 3.
1. 令 C = 1/2 A.
2. 则: lct(X, B, |A|) = 1/2 lct(X, B, |C|).
3. 取 L∈|C|.
4. 设 n, m, eps' 如命题5.9.
5. 取最大的 s, 使 (X, B + sL) eps'-lc.
(lct 转形为 eps'-lc 配对 )
6. 只须证明 s 有正下界.
Para. 4.
1. 取 T 使 a(T, X, B + sL) = eps'.
注: (X, B + sL) eps'-lc 按定义写出, 取 D = T 使隙函数的等号成立.
2. 取 x 为 T 的中心上的“一般点”.
(以下 x 将分为“非闭”与“闭”两种情况讨论).
3. 假设 x 为非闭的.
4. 由 cut(A) 操作及归纳假设存在 v>0 使得...
(X, B + vL) lc 于 x 附近, 且 v 有下界.
5. 取 α = eps'/eps, β = 1 - α.
6. 联系 (X, B) eps-lc, 得凸组合:
αB + (1 - α) (B + vL) = B + βvL.
7. 凸组合配对的类型:α·eps-lc + β·0-lc = eps'-lc.
8. 由s 最大, 得 s ≥ βv.
(即 x 非闭时有正下界, 因 v 有正下界).
9. 假定 x 为“闭”的.
Para. 5.
1. 由命题5.9, 存在Q-divisor Λ 使得
---- nΛ 是整的;
---- mA - Λ ample;
---- (X, Λ) lc 于 x 附近;
---- T 系 (X, Λ) 上的 lc place.
2. A, C, L, s 替换为 2mA, 2mC, 2mL, s/(2m).
3. A - (B + sL) ample. ?
4. 关于(X, B + sL) 运用命题5.7, 对任意的U 若存在消解 ν: U --> T 使 T 在 U 上, 则有 μTν*L ≤ q.
5. 取这样的消解.
Para. 6.
1. 由 a(T, X, B) ≥ eps ≥ eps' = a(T, X, B + sL)...
2. 得 μTν*sL ≥ eps - eps'.
3. s ≥ (eps - eps')/(μTν*L) ≥ (eps - eps')/q.
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小结: 达到90%的记忆度(两三处模糊).
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1200692.html
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