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“光明顶”四大定理概述

已有 2240 次阅读 2019-8-12 10:22 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

[注：修改了标题。内容略修订。]

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(接前: 26 23 20) 写点通俗的...

前段时间忽然想了解下那位菲奖得主的近况，看看他最近做什么。一直在读的这篇是2016年的两篇预印本之一（“光明顶”那篇）。另一篇初版有60多页，最近发现原作的最终版扩充至90+页。希望短的这篇也会得到扩充，那样也许会解开一些困惑。Birkar 在预印本文库中发布了33篇文章，最早的一篇是2003年，平均每年两篇。最近又贴出两篇，一个不算长的综述及一个新主题。

新学期打算介绍这篇文章，让学生们了解下这类研究。Birkar的这篇文章用到2014年的一个结果，那里也提到 BAB 猜想。搜了里头的内容，那组作者没提到 “complement” 这个概念，而 Birkar 的文章里就此发展出一个主要定理，起到关键作用。在证明中，Birkar 给出了关于配对奇异性的一个新引理（某种凸组合公式），其形式和证明都相当简单，在内文中多次用到。这个引理到了2016年才出现，确实令人惊讶。通常人们都往深处考虑，但少许 “钥匙” 也可能藏在浅处...

文章的 “主定理” 表述很简单：某类型的弱法诺簇形成有界族。换个说法，将所考察的簇记作 {X}，若 X 使得配对 (X, B) 对某个 B 构成 eps-lc 型奇异，并且 - (Kx + B) 为 nef 和 big，则 {X} 构成有界族。这里的 “有界” 不是普通意义上的概念，按下不表。

法诺簇(Fano variety) 是这样一类簇，记作 X，它使得配对 (X, B) 对某个B 为 lc 型奇异，并且 - (Kx + B) 为 ample。弱法诺簇只是将 lc 改为 eps-lc，并将 ample 改为 nef 和 big。暂不追究 ample, nef 和 big 的含义，知道是某种性质或约束即可（若追究难免又遇到一堆陌生概念）。

文章里到处用到“配对”，而证明过程也多呈现为 “配对的演化”。配对的概念文章里有解释，初识只要知道它的模样即可：一对括弧，里面有两个大写字母，并用逗号隔开。此文中的配对有三个奇异类型：lc, klt, eps-lc。

跟主定理最贴近的是一个“副定理”，源于 Ambro 猜想，它的结论是一个不等式。有了它，再结合较长那篇文章里的好几个定理，外加少许引用的结果，就可以证明主定理。副定理的条件跟主定理一样，但引入了记号 A:= - (Kx + B). 结论是存在正数 t，使得 lct(X, B, |A|) ≥ t. 文章的 Sect.3 对它做出了证明。

上面结论中出现的符号不难理解，有大三水平就行。首先这个 |A| 是一个集合：|A| = {L≥ 0 | L ~ A}，里头的波浪号是等价的意思（猜测是一种线性的同构映射）。那么这个 |A| 就叫做 “线性系统”。此处是在实数域上考虑。来看配对 (X, B)，拿出 B 待用，再取 L ∈ |A|，并构造线性关系 B + tL。考虑集合 { t | (X, B + tL) is lc for every L ∈ |A|}，给这个集合取上确界就得到 lct(X, B, |A|)，副定理就是讲它呢有正的下界。

为了证明副定理（Ambro 猜想），作者考虑了更一般的情况，做成一个定理。它可以看做全篇的 “执行定理”（有点像CEO的地位），撑起了整篇文章的架构。执行定理的证明篇幅不大，多半页的样子，从中可了解全篇的脉络。这里头主要用到 Sect 5 的内容，那里将 BAB 猜想归结到 toric 情形（涉及到 “complement 技术”）。

“complement”这个概念是其它人发明的，文章得出了一个定理，起到关键作用。它可以看做全篇的 “技术定理”（有点“黑科技”的味道）。Sect.4 单列一节做出了证明，篇幅占3.5页。

评论：以上概括了短文章的四大定理。全篇证明分为若干单元（Sect.3 两个，Sect.4 一个，Sect.5 四个，Sect.6 一个）。

小结: 花一年时间读完短文章。（计划开读长文章，间或温习短文章）。

符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ⁺ ₊ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .