再撒一把豆子...

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之前讨论了豆子戏法*：在地上随意撒 2n 个豆子，试画一个圆，使得圆内和圆外的豆子数量相等。

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对于 2n 个豆子，考虑 n = 1 的情形，希望从这个特例中找出普遍解。

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这涉及到对 “方” 和 “法” 的理解。简单来讲，“方” 就是 “直角”、“垂直关系” 等情状；“法” 就是与 “方” 相依的直线。为了达成 “方”，必须以 “法” 开路。

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两个豆子如图所示：

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看到两个点，第一个合 “法” 的事件，是将它们用直线连起来。这样就得到一条线段，它有个长度。这条线段还算不上“法”。

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接着，分别以两个豆子为圆心，以那个长度为半径，画两个圆，得到两个交点。过这两个交点作直线。此直线与之前的线段形成垂直关系，并将其分为等长的两段。这条直线即为 “法”。

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这个时候，有了 “方”，也有了 “法”。

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最后，在 “法” 外任取一点 O，测量此点与两个豆子之间的距离，得到 r1，r2。取 r 介于 r1 和 r2 之间。这样，就得到一个圆，它以O为圆心，以 r 为半径，使得圆内外的豆子数量相等。

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上面的这个解法可以自然推广到一般情形。对于 2n 个豆子，两两连线，作出各连线的垂直平分线（“诸法”），在诸法外任取一点O，测量此点与诸豆之间的距离，得到 r1, r2, ..., rn, rn+1,...,r2n。假定对这些距离已经做过排序（按序号从小到大）。取 r 介于 rn 和 rn+1 之间。这样，就得到所求的圆。

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作为验证，考虑 n = 2 的情形（4个豆子）。假设4个豆子排成正方形（或菱形）：

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按照普遍解法，4 个豆子必然落在诸法上，这就自动排除了以豆子作为圆心的可能。（在普遍解中，只要在诸法外任取一点即可。如果有豆子恰好在诸法外，取到它们也不妨事）。

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做上面验证期间，想到了其它可能的做法。特别是，物理学家们会怎样做这道题？

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解法一（理论物理学家）：画一个大方框将豆子包括在内，连接大方框的对角线。由于豆子是随意撒的，可以假设为均匀随机分布，这样对角线两侧豆子数量(有很大机会)相等。圆呢？可以设想对角线在一个半径充分大的圆上。

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解法二（材料物理学家）：手头有且仅有一个最新纳米魔角材料做的圆，既然半径已经固定了，就把它放到大方框的中间好了，也许圆内外的豆子数量差距大了一些，但这是当前能拿出的最好的解。

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解法三（天体物理学家）：在诸豆之外任取一点O，测量此点与诸豆之间的距离，得到 r1, r2, ..., rn, rn+1,...,r2n。假定对这些距离已经做过排序（按序号从小到大）。取 r 介于 rn 和 rn+1 之间。这样，就得到所求的圆。

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在以上三个物理解中，我更欣赏解法一。忽然在想，不知道量子物理学家们会怎样做？