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做“习题”培养不出数学家。
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做“习题”培养不出数学家。
---- 昨天温习了Step6, 今天温习Step5.
(Step6也再加点温，参末尾).
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Step5 图解 (准默写)
(φ) (ψ) (?)
W W' W''
↓ ↓ ↓
--------------> Z
---- (接Step2) W 来源于 blowups 序列.
---- 对“违和”[注]做MMP 即得 W'，并且 -Kw' big.
注：对 blowups序列的前 l-1个exceptional divisors 求和(简称“违和”).
---- 对 -Kw' 做MMP 即得 W'', 并且 - Kw'' nef & big.
---- W, W', W'' 都是 toric; (Z, Δ), (W', Δw'), (W'', Δw'') 都是 eps'-lc.
---- 则 W'' 是 eps'-lc toric weak Fano variety.
---- 于是 (W'', Δw'') 属于有界族.
---- 从而 Kw'' 有 n-补 Kw'' + Ωw''.
---- 则 Kw' 有 n-补 Kw' + Ωw'，以及 Kz 有 n-补 Kz + Ω (klt).
注：Step5 共两段, 触发点是: 1. MMP(违和) ~> W'; 2. 给 W' 找边界(借助 (Z, Δ) 的回拉).
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评论：Step5 的最终成果是Ω.
---- 附带1. 双有理态射 ψ: W' --> Z.
---- 附带2. Ωw'(非负).
---- 另, ψ 有唯一的 exceptional divisor, 即 bir(R).
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小结：Step5 的轴心是做出关于 (Z, Δ) 的 n-补.
---- Step3,4费周折只为造出 全局的eps'-lc型 (Z, Δ) ，后者专用于导出 W''，进而得到Ω.
---- 而这一切似乎只是为了得到更精致的上界(完美主义，or 另有深意?).
---- 若只为得到blowups序列数的上界，有引理2.17就够了(?).
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* * *
加温(默写)：Step6 图解.
W|W' R
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Z Θ|Ω
---- Z 和 W 有blowup映射φ.
---- Z 和 W' 有“违和”映射 ψ.
---- Z 和 Θ 构成像配对(Z, Θ), log smooth, reduced.
---- Z 和 Ω 构成“n-补”配对(Z, Ω).
---- Z 和 Θ、Ω 可构成支撑配对(Z, Supp(Θ+Ω)).
---- Z 和 Θ、Ω 还可构成复合配对(Z, uΘ+Ω).
---- R 和 Θ关于ψ 和 φ有系数 μbir(R)ψ*Θ 和 μRφ*Θ.
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Step6的逻辑.
1. nΩ 整系数，degHiΩ = d + 1 ==> (Z, Supp(Θ+Ω)) 属于有界族 ==> 存在u，使得 (Z, uΘ+Ω) klt.
2. Ωw' 非负 ==> μbir(R)ψ*Θ ≤ 1/u ==> μRφ*Θ ≤ 1/u.
3. W --> Z{R, Z, Θ}cbt ==> l +1 ≤ μRφ*Θ.
4. 由 2 和 3得: l ≤ ⌊1/u -1⌋.
5. 取 p = ⌊1/u -1⌋.
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以上逻辑的三个“触发点”:
nΩ ~ Hi ~> u.
Ωw' ~> μRφ*Θ ≤ 1/u.
W(-->Z) ~> l +1 ≤ μRφ*Θ.
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评论：Step6的“轴心”是第三个触发点.
---- 前两个使结果更精致.
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1167361.html
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