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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。

今日学院：数学与信息学院（福建师大）。新闻。新闻+

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“We can assume...”

(接上回∪) 证明的温习：Step3.

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Step1(a) 从 (X, S) plt 和 M - (Kx + B) ample 出发，得：

---- αM - (Kx + Γ) ample for some α∈(0, 1)； 

---- (X, Γ) plt，\Γ/ = S，Γ≤ B .

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Step1(b) 从 (X, S) 非plt 出发，转到 “plt像” (Y, T)，得：

---- 假定 αMY - (KY + ΓY) ample for some α∈(0, 1)；

---- (X, ΓY) plt，\ΓY/ = T，ΓY≤ BY.

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评论：(a) 和 (b) 存在微妙差别，后者引入了 “we can assume...”的提法（有所“弱化”）。注意，那个式子是推导出来的，“assume”只是针对 “ample...” 而言，其它结论都是推导得到。

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Step3，第一段：

In view of Steps 1-2, we can assume that there is a boundary Γ ≤ B such that (X, Γ) is plt, \Γ/ = S, and A: = αMY - (KY + ΓY) is ample for some α∈(0, 1). 

---- 做出这个假定，似乎是出于统一起见，即对 (X, S) plt 或 非plt 的情形做统一处理。

---- 在证明中引入 “we can assume...” 或可看做一种“手法”（有所“弱化”但仍被接受）。

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接下来这一句更微妙：

However, M - (Kx + B) may no longer be ample but it is still nef and big. 

---- 须知，M - (Kx + B) ample 乃是定理中给出的条件，而在前述假定下，或不再成立，而是弱化了。

（这样干法，到了我们人手里，会不会给他“打回去”？）

---- 后文中，M - (Kx + B) 这个形式仍会出现，但应该不会再使用 ample 这个条件。

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评论：像这样的情况，猛一看，真会感到吃惊：定理的叙述是确定的，其中的条件 “M - (Kx + B) is ample” 也是确定的，但进入证明不久，作者引入了假定，使得已经给定的条件或不再成立！

---- 一个很自然的问题是，为何不直接在定理的条件中给出假定？

---- 可能是为了显化“诱导”出假定的过程。

---- 也可能是为了定理的叙述更简洁。

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总结以上的逻辑“套路”：

---- 由 A 推不出完全的 B，转而假定 B 成立；

---- 这时由 B 推不出 A，但 A 的“弱化版”成立；

---- 然后继续给出证明。

---- 姑且看做一种带有“弹性”的证明。

（这种手法的来源值得考证）。

---- 给这种手法一个汉字标签：颠（意取“颠式逻辑”）。

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Step3，第二段：

1. Let Ks + Bs = (Kx + B)|s.

---- 这里只是引入简化的记号。

---- 此时，左端的下标 s 是“分离” 状态（非“连体”）。

---- 即，下标 s 可以替换为 |s，两者只是写法上的区别。

注：|s 是指对象“限制”在集合S上。

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评论：后文中，若带有下标 s 的对象第一次出现且单独出现（通过定义的方式），意味着下标 s 是“连体”状态（对象及其下标s 看做一个“整体”）。

---- 处于“连体”状态的下标 s 不能随意替换为 |s.

---- 但连体的下标 s 暗示潜在的“分离”，即以后将通过推导，达成分离状态。

---- 下标 s 的状态具有微妙性 。

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2. The coefficients of Bs belong to Φ(G)...

---- 此句涉及两个文献，暂不细究。

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3. Since (X, Γ) is plt and -(Kx + Γ)|s ~R (αM - (Kx + Γ))|s is ample, S is Fano type.

---- 这里用到 M|s ~ 0 及 αM - (Kx + Γ) ample.

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4 Thus as -(Ks + Bs) ~ (M - (Kx + B))|s is nef, by Theorem 2.13...Ks + Bs has an n-complement Ks + Bs^+ with Bs^+ >= Bs.

---- 这里，从形式上得到了 Bs^+ （其中s 分离）。

---- Bs^+ 的具体构造尚不清楚（到Step8才构造出来）。

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评论：主要是用到“伯参”M - (Kx + B)与“仲参”αM - (Kx + Γ)的性质，及限制到“重地”S的运算及后果。

---- M|s ~ 0 使得 S 起到某种 枢纽 和 屏蔽 的作用。

---- 后果1：S is Fano type.（Fano 常扮演高大角色）。

---- 后果2：得到 Bs^+的存在性。

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加评：若默认第一段的准备及定理条件，则此段的核心角色是 S。给个汉字标签“罩”。

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小结：Step3可概括为：颠，罩。

Leonhard Euler  Carl Friedrich Gauss  Grothendieck   

Glossary (AG) 

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第一轮读写链接（按目录顺序）

Abstract 8/4

Introduction

  Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5

  Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6

  Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7

  Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8

  Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9

  Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9

  Jordan property of Cremona groups 8/10

  Lc thresholds of lR-linear systems   8/11

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1)  8/12

  Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2)  8/13

  Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree  8/14

  Complements near a divisor  8/15