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如何对付较长的证明？（完）

已有 2309 次阅读 2018-12-27 09:57 |个人分类:心路里程|系统分类:科研笔记

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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。

今日学院：数学学院、数学研究所（吉林大学）。新闻。

如何对付较长的证明？

(接上回~) Step 8 (共两段)，第一段。逐句评论：

Let L, P, G, E, Δ be the pushdowns to X of L', P', G', E', Δ'.

---- 用 pushdown 的办法，引出几个影版符号的原版。

By the definition of L', by the previous step, and by the exceptionality of P', we have

(n+1)M-nKx-nE-\(n+1)Δ/=L=L+P~G≥0.

---- L（通过L'）提供了构形，又借助P及影版关系，最终联系到G。

（但早先的L'是怎样想到的，仍然是个谜）。

---- G的构造是间接得到、并且间接表现的。

---- 当前句的推导暂缓。落点是：

(n+1)M-nKx-nE-\(n+1)Δ/=L~G≥0.

（P仅是"桥接"工具，用完就扔了....）。

Since nB is integral, \(n+1)Δ/=nΔ, so

(n+1)M - n(Kx+B)

= (n+1)M - nKx - nE - nΔ = L ~ nR:=G≥0.

---- 自然的推导：1)落点左侧的 \(n+1)Δ/换成nΔ, 得到：

L = (n+1)M - nKx - nE - nΔ = (n+1)M - n(Kx+B).

（注：B=E+Δ ==>nB=nE+nΔ）

2) 令 nR:=G.

经过整理就得到作者的写法。

---- 落点：(n+1)M - n(Kx+B) ~ G≥0.

（L也完成了使命...）。

注：至此，P 和 L 都“退场”了，但它们的影版还会出现。

评论：之前推测*，“后面，作者必然要构造出nRs，从而求出Gs，这就距离求出G不远了...”

---- 现在看来，作者先构造出了G（在等价关系下谈论），然后再去确定nRs（或nRs'）和G的关系。

---- 上面，作者规定nR:=G，于是，任务转化为建立 nR 和 nRs（或 nRs'）的关系。

（究竟如何，看下一段分解）。

Step 8, 第二段。

Let B^+ = B + R.

---- 即 R = B^+ - B.

---- 对照 Step7 第一句 “Let Rs:= Bs^+ - Bs...”。

---- Rs 只是形式上的符号，还没有 R|s 的意思在里面（还没有出现R）；甚至没有 Bs^+ - Bs = (B^+ - B)|s 的意思（Bs=B|s是有的，但尚没有 Bs^+ = B^+|s）。

---- 上一段规定 nR:=G，不太自然，该是为了引入单独的符号R来指代 G/n 罢了。

---- 至此，有了符号R，但 Rs 和 R|s 尚未划等号。

It remains to show (X, B^+) is lc near S.

---- 本段的核心任务。

This follows from inversion of adjunction [16], if we show Ks + Bs^+ = (Kx + B^+)|s...

---- Step3 第二段“Let Ks + Bs = (Kx + B)|s...” 不妨理解为 Ks:=K|s, Bs:=B|s.

---- 按上述理解，上面末尾化简为...show Bs^+ = B^+|s. 这等价于 show Rs = R|s.

which is equivalent to showing R|s = Rs.

---- 没话说啦。

Since nR' := G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ' ~ L' + \(n+1)Δ'/ - nΔ' = nN' + M' ~Q 0/X...

---- Step7 最后一句“L' + P' ~ G'...” ==> G' - P' ~ L'.

---- Step4 第五句“...L' = nΔ' - \(n+1)Δ'/ + nN' + M' ”.

---- 由此，除了最后一个等价关系，其余都显然。

注：R'在这里是第一次出现，目前只是个规定。

and since \(n+1)Δ/ - nΔ = 0, we get phi#nR'=G=nR and that R' is the pullback of R.

----下标 "#" 代表下标的星号。phi#把影版关系转到原版。

---- 用到上面 nR' ~ L' + \(n+1)Δ'/ - nΔ', 及第一段 L ~ G.

---- Step7第二句“Letting Rs' be the pullback of Rs....”

---- Step7第三句“...Gs':=nΔs' - \(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'...”

---- 变形得：nRs' = Gs' - Ps' + \(n+1)Δs'/ - nΔs'

---- Step7,第1、2段末：Δs'=Δ'|s', Ps'=P'|s' 和 G'|s' = Gs'.

---- 由上两条有： nRs' = (G' - P' + \(n+1)Δ'/ - nΔ')|s'.

---- 括弧里不是别的，正是 nR'.

---- 由此，nRs'=nR'|s'.

Rs' --> Rs

R'|s' -->R|s

注：若下方的箭头成立(?)，则Rs=R|s.

小结：定理1.7的整个证明完结。文章第四部分结束。

* * *

如果把符号体系看做“语言”，则不同的语言之间是“平等的”。不妨把这篇文章的内容称作 “Birkar 语言”。设想讲这种语言的人形成一个社会。假装你出生在这个社会中，那么要不了多久，你也能用 Birkar 语言说话了。从课本学起可能是一种认识上的误区，又或是社会妥协的产物。结论是：Thinking in Birkar.