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如何对付较长的证明？（7）
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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。
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如何对付较长的证明？
(接上回#) Step 7 (共两段)，第一段。逐句评论：
Let Rs:=Bs^+ - Bs which satisfies -n(Ks + Bs) ~ nRs≥0.
评论：看上去并不显然（但应该是显然的）。
---- 试着倒推： -n(Ks + Bs) ~ nRs = nBs^+ - nBs ==>
-nKs ~ nBs^+ ==> n(Ks + Bs^+) ~ 0 ==>
n(Kx + B^+)|s ~ 0.
---- 最后这个式子，如果去掉“|s”，就回到了 2.12 关于 n-complement 的定义*。
---- 把那个定义套用到带“|s”的情形，即有 n(Kx + B^+)|s ~ 0。
(作者头脑中，Step7的第一句话接Step3的最后一句)。
---- Bs^+的构造是Bs+Gs/n，但Gs是未知待定/待求的。
---- 显然，Rs 就是 Gs/n。
---- 这就是为什么第一句末尾会出现 nRs。
---- 后面，作者必然要构造出nRs，从而求出Gs，这就距离求出G不远了...
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Letting Rs' be the pullback of Rs, we get nN'|s' = (nM' - n(Kx' - B'))|s' ~ -n(Kx' + B')|s' = -nψ*(Ks + Bs) ~ nRs' ≥ 0.
---- 第一个等式和第一个等价关系是显然的。
---- 第二个等式也是显然的（见 Step4 之 psi 的定义）。
---- 最后的等价关系即第一句末尾等价关系的“影版”。
---- 此句抓两头，即：nN'|s' ~ nRs' ≥ 0.
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Then (L' + P')|s' = (nΔ' - \(n+1)Δ'/ + nN' + M' + P')|s'
~Gs':=nΔs' - \(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'
where Δs'=Δ'|s' and Ps' = P'|s'.
---- 运算是显然的。用到M'|s' ~ 0（推测：定理1.7设置此条件是为了消除M或M'）。
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Note that \(n+1)Δ'/|s' = \(n+1)Δ'|s'/ since Δ' and S' intersect transversally.
---- 暂时看不出（问题：intersect transversally？）。
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第一段的落点是 (L' + P')|s' ~Gs'。
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Step 7, 第二段。
We show Gs' ≥ 0.
---- Gs'非负，意味着所有系数非负。
---- 问题：非负性起到什么作用？
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Assume C' is a component of Gs' with negative coefficient.
---- 这是反证法假设。
---- 即假设 Gs'= ...+ cC' +...其中 c<0.
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Then there is a component D' of Δ' such that C' is a component of D'|s'.
---- 作者说得很显然似的，但暂时看不出。
---- 回顾：Gs':=nΔs' - \(n+1)Δs'/ + nRs' + Ps'。
---- 其中，nRs'非负（见第一段第二句）；Ps'的所有系数在[0,1]内（见 Step5）。摸索：
1) ...there is a component D' of Δ' ...
Δ'=...+ dD' + ...==> Δ'|s=...+ dD'|s + ...
2) ...such that C' is a component of D'|s'.
D'|s =...+ qC' +...
1), 2) ==> Δ'|s=...+ d(...+ qC' +...) + ...
---- 即C'作为Δs'的分量，系数为dq.
(当前句，整个怎么得到的不清楚，但若承认它仍可做如上分析)。
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But μC'(nΔs' -\(n+1)Δs'/) = μC'(-Δs' + <(n+1)Δs'>) >= -μC'Δs' = -μD'Δ'>-1...
---- 第一个等式是显然的。
---- 第一个不等式意味着μC'<(n+1)Δs'>非负（根据待考）。
---- 第二个等式暂看不出...按之前分析-μC'Δs'=-dq, 而 -μD'Δ'=-d. 由这里的等式，q=1. 这样，1) 中的D'该是“素”的（应该是），这样就通了。
---- 第二个不等式 -μD'Δ'> -1 即 μD'Δ' < 1 是成立的（参 Step5 第二段）。
落点是：μC'(nΔs' -\(n+1)Δs'/) >-1.
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...which gives μC'Gs' > -1...
----推导： μC'Gs' >= μC'(nΔs' -\(n+1)Δs'/) >-1.
---- 由于nRs'非负、Ps'非负，很可能有μC'Gs' = μC'(nΔs' -\(n+1)Δs'/) 。待考。
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...and this in turn implies μC'Gs'>=0 because Gs' is integral, a contradiction.
---- μC'Gs' > -1 而 Gs' 是整的（即所有系数为整数），于是只能有 μC'Gs'>=0.
---- 这与反证假设 μC'Gs' < 0 矛盾。
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Therefore Gs'>=0, and by Step 6, L'+P'~G' for some effective divisor G' whose support does not contain S' and G'|s' = Gs'.
---- 等价关系参较第一段的落点。
---- 提及Step 6，大概是指那里的末尾引起了这里的一大堆话。
---- 问题：这些与 Gs'>=0 有何关系？
（最后一句话是第二段的落点，也是当前Step 7的落点）。
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回想起来，差点让第一段第一句给蒙住、溜过去...
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1153511.html
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