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                                                      新入の者--> What is going on ?

本期开始改变画风，搭载数学类学院等，有用链接等。

今日学院：数学与信息科学学院（陕西师大）。教授38位（“博导” > 22位，含副校长级博导）。

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（接上回*）2.19. Etale morphisms. We look at singularities of images of a pair under a finite morphism which is étale at some point.

注：考察“配对”的像的奇异性，其中“像”是通过“有限态射”得到。

评论：这个“Etale morphisms” 原本是光滑簇之间的映射，但在这里作者好像将此概念“细化”到了点。

Lemma 2.20 Let (X, B=ΣbjBj) be a pair over C, π: X --> Z be a finite morphism, x∈X a closed point, and z = π(x). Assume

• X and Z are smooth near x and z, respectively,

• π is étale at x,

• Supp B does not contain any point of π^{-1}{z} except possibly x, and

• C:=π(B):=Σ bj π(Bj).

Then (X, B) is eps-lc near x if and only if (Z, C) is eps-lc near z. More precisely, there exist analytic neighbourhoods U and V of x and z, respectively, such that π^{an}|U induces an analytic isomorphism between (U, B^{an}|U) and (V, C^{an}|V).

评论：第一句，先给出基本配置：包括一个配对(X, B)，一个映射 π（这里的 π 不是指圆周率）。作为“示范”，从X中取一“闭点”，其在 π 的作用下，得到像点 z，或者写成 π(x)。然后给出了四个假设/条件：

1） 局部光滑；

2） 局部 étale；

3） 排斥 “z核”；

4） 线性作用；

结果：(X, B)和它的像(Z, C) 在π的作用下，在示范点保持 eps-lc。 

加评：对四个条件作进一步理解，即为何要求这些条件？ 推测的回答：étale 是在“光滑”的条件下定义的，故局部 étale要求局部光滑。

又问：为何要求局部 étale？推测的回答：大概它是“好”的。

又问：为何要排斥“z核”？为何要求线性作用？万能的回答：大概是出于“需要”。略深的回答：“排斥”联系着“法”，“法”要求“去除不直”，故推测：若 Supp B 包含“z核”，可能会带来“麻烦”，如“破坏线性作用”（待考）；又或者，这是“使之方”的要求，类似于“垂直”关系；不排斥x，令人联想到直角坐标系中的原点。至于最后一个条件，大概是出于“简化”的考虑（非线性的情况太难）。线性作用也意味着“权力的延续”，B的分量的相互关系不因映射的作用而改变。

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以上的解释好麻烦，简言之：局部 étale 方法。（条件即方法，方法即条件）。

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eps-lc是“配对”的某种关键属性，简记为：E-范儿。

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小结：局部 étale 方法 保持 局部E-范儿（étale ~> eps-lc）。

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Leonhard Euler  Carl Friedrich Gauss  Grothendieck   

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