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...不是从读书中去学习新的知识，而宁愿自己去重新建构这些知识*。

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(接上回*) 2.9. Effective birationality and birational boundedness. In the next few subsections, we recall some of the main results of [3] which are needed in this paper.

评注：接着的若干小节回顾文章[3]的若干主要内容（直到定理2.15）。

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Theorem 2.10 ([3, Theorem 1.2]). Let d be a natural number and eps a positive real number. Then there is a natural number m depending only on d and eps such that if X is any eps-lc weak Fano variety of dimension d, then | -m Kx| defines a birational map.

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评注：给出一种双有理映射的构造。

临时：之前提到“大数学观”，即数学中只有“集合”与“映射”两样东西。刚才忽然想到，还可以加入“模式”的观点。比如“双有理”是什么？是模式。这就涉及到“什么是理解？”这个问题—— 理解就是回答“是什么”这类问题。（忽然想到：数学家之所以孤独，是因为数学思想是“不可分的”）。具体来说，理解就是把“眼前的事物”归属到已经理解的模式，其终点是若干先验的基本模式（元模式）。比如，什么是“不可分的”？——“不可分的”是模式，而且是元模式（之一）。

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特评：想到个好主意 —— 把 eps-lc weak Fano (variety of dimension d) 看做 ——“标配” 。weak Fano 可用下标 wf 暗示，eps-lc 可放入括弧提示，即Xwf(eps-lc)。或者，更简单地，用下标s暗示标配。简记：

Xs ~ |-m Kx|.

注：副集合 Kx 做整数倍乘，即得双有理映射。可见，“标配”是为达成后者做准备和支持（换句话说，“双有理映射”是个关键角色）。

问题：m 取素数的条件是什么？

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Theorem 2.11 ([3, Theorem 1.6]). Let d be a natural number and eps a positive real number. Aussme Theorem 1.1 holds in dimension d-1. Then there is a number v depending only on d and eps such that if X is an eps-lc weak Fano variety of dimension d, then the volume vol(-Kx) ≤ v. In particular, such X are birationally bounded.

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评注：给出“体积有限”定理。

评论：比定理2.10多了个假定（即定理1.1在d-1维度成立）。在此前提下，“标配”意味着 双有理有界 和 体积有限。简记：

(Xs)bi <~ Xs ~> vol (-Kx)≤v.  <Th.1.1: d-1>

注：用(·)表示内中量有界，用下标bi暗示“双有理”；用<·>表示前提假设。

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小结：2.9~2.11完结。

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看来，暂时不陷入诸多“漏气”概念是对的，有利于从总体上把握关键及重点。理顺概念之间的关系比理解概念本身更重要（简记：关系 > 概念）。概念暂时在“大数学观”层面予以理解 —— 集合、映射、模式。

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