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自然界里的斐波那契数列 精选

已有 4129 次阅读 2021-2-8 08:47 |个人分类:读书札记|系统分类:海外观察

观察是人类在处理自己不了解的问题时最早采用的科学方法之一。几个世纪以来,人们观察到了斐波那契数列和黄金分割比(见上一篇博文《神奇的斐波那契数列》),以不同的形式出现在我们的世界中,从人类DNA链,到银河系。

我们这里讨论几个例子

雄蜂家谱

蜜蜂有一个家庭。在蜂巢中,有三种类型的蜂:不工作的雄蜂,工作的雌蜂(称为工蜂),还有蜂王。雄蜂从未受精的卵孵化,这意味着只有一个母亲而没有父亲(但确实有一个祖父),而雌蜂从受精的卵孵化,因此需要一个母亲(蜂王)和一个父亲(一个雄蜂)。

在图1中,我们从名为“阿蜂”的雄蜂,开始追踪其祖先。 “阿蜂”是雄蜂,来自未受精的卵,因此只需要雌蜂就可以生他,其父辈只有一个母亲,所以第二行的雄性0,雌性1,总数是1。但是,产卵的雌性一定有一个母亲和一个父亲, “阿蜂”的祖父辈,是“阿蜂”的母亲的双亲,因此,第三行的雄性1,雌性1,总数是2。“阿蜂”的曾祖父辈,总数是3(外祖母有有双亲,外祖父只有一个母亲),第四行的雄性1,雌性2,总数是3。然后继续这种模式:每个雄性的直接祖先是一个雌性,而一个雌性的祖先是一个雄性和一个雌性。在图1右边是每行蜜蜂数量的摘要。令人惊奇的是,在右边的每一列中,都出现斐波那契数列。

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图1 雄蜂家谱(改编自参考资料[1])

这个例子源于《The (Fabulous ) FIBONACCI Numbers》一书(参考资料[1]),作者阿尔弗雷德·S·波萨门捷(Alfred S. Posamentier)说,如果当初斐波那契意识到雄蜂的家谱这种关系,那么在《Liber Abaci》书中,他可能用“雄蜂家谱”代替“兔子繁殖”的例子(注:斐波那契是用兔子繁殖问题介绍斐波那契数列的,见我的上一篇博文《神奇的斐波那契数列》)。而兔子繁殖的例子被某些人认为不太现实。但是,他又说,事实上,兔子问题也非太不靠谱,兔子在三个月大以后,就可以生后代,并且可以每月繁殖。因此,用递归公式Fn + 2= F n + Fn + 1来描述兔子繁殖也是正确的。顺便说,该书的后记由赫伯特·豪普特曼(Herbert A. Hauptman)博士撰写,他是第一位获得诺贝尔奖的数学家(化学,1985)。

在图1中,辈分低在上面,辈分高的在下面,与我们常见的家谱相反。在网络上介绍“雄蜂家谱”的文章,也有的把辈分高的画在上面,这样左面就是倒三角形形状,但是,右面的斐波那契数列也成为从下到上的排列。

光学反射

光学领域为我们提供了斐波那契数的一个很好的应用。假设两块玻璃板面对面靠在一起放置,并希望计算可能的反射次数。

第一种情况是没有反射,光源正好穿过两块玻璃板,如图2最上层所示。光线有一条路径。下一种情况是有一个反射。在这种情况下,光可以有两种可能的路径。它可以从两个界面反射,如图2第二排所示。假设光线在这两块玻璃板中反射两次。然后会有三种可能的反射,如图2第三排所示。如果光线被反射三次,那么有五种可能的光线路径,如图2第四排所示。光线经过四次反射,会产生八种可能的路径,如图2第五排所示。

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图2 光线反射(改编自参考资料[1])

这些可能的路径,形成了斐波那契数列。这个例子也是源于参考资料[1],原书中用数学的方式证明了在反射n次情况时,有斐波那契数Fn+1可能的路径。

顺便说,该书包含了丰富的资料,不过,在介绍光学例子和雄蜂家谱例子中,原书分别存在有图件错用(原书Figure 6-24)和图件中数字标错(原书Figure 2-1)问题。但是,这不影响其学术价值,还是很值得推荐阅读。

叶序

在植物学中,叶序是植物茎上叶子的排列。叶序螺旋在自然界形成了一类独特的模式。在植物学领域,叶序被认为是最显著的现象和最困难的课题。然而,叶序现象很简单,因为所有显示螺旋的叶序系统,多属于斐波那契型整数序列。

叶序学”是研究植物叶片和其他器官所表现出的形态的学科。在这类系统研究中常见斐波那契数列,一直吸引着植物学家和数学家。在一部名为《Phyllotaxis: A Systemic Study in Plant Morphogenesis(叶序学:植物形态发生的系统研究)》400页的专著(参考资料[2])中,出现“Fibonacci(斐波那契)”名字达285次。书中从事实和理论的叶序之间的比较中得出结论。例如,书中有一个表(Table 7.12),统计超过650种物种的8种模式和12750个观测数据,其中11641个出现斐波那契模式<1,2,3,5,8,…>,占91.3%。书中详细分析了松果和向日葵的种子呈黄金分割比螺旋,但也指出,有许多的植物并不遵循这个规律

早在18世纪,查尔斯·博内(Charles Bonnet,1720–1793)就指出,在植物的螺旋叶序中,顺时针和逆时针方向,通常是斐波那契数列中两个连续的数。以松果为例,在图3(A和B)中,清晰可见8个逆时针螺旋和13个顺时针螺旋(8和13是斐波那契数列中两个连续的数)。在几何和黄金分割比的计算中,5是一个非常特殊的数字。不仅φ和五边形和五角星之间有关系,而且这个数字也是斐波那契数列的数字。事实上,许多最常见和最美丽的植物和花卉,包括玫瑰科的植物和花卉,都表现出这种完美的黄金对称。非洲螺旋芦荟植物中有五种逆时针方向的螺旋(图3-C)。

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图3 植物螺旋(图片来自网络)

还有一些花瓣的生长方式与斐波那契数列一致,例如(参考资料[3]),1瓣:白色百合花(white cally lily),3花瓣:百合(lily)、鸢尾(iris),5花瓣:毛茛(buttercup)、野玫瑰(wild rose)、龙葵(columbine),8花瓣:飞燕草(delphiniums),13花瓣:豚草、玉米万寿菊、金银花,21花瓣:紫菀(aster)、黑眼苏珊(black-eyed susan)、菊苣(chicory),34花瓣:车前草(plantain)、除虫菊(pyrethrum),55,89花瓣:米迦勒菊(michaelmas daisies),菊科(the asteraceae family)。

微观结构的斐波那契数

没有人真正知道在植物中这些模式是如何和为什么发生的。是基因问题吗?有人解释是一朵花的叶子跟随太阳。这听起来很有说服力,但还不能解释海洋生物的形态。

中国科学院的专家在研究微观结构时候,发现一个新的线索:瓜果外形可能是个力学问题,而非基因问题。对于材料科学家来说,如何在设计的图案中以均匀的尺寸和形状制造出高度有序的微纳米结构是一个巨大的挑战。通过控制冷却时的几何形状和应力,中国科学院研究人员引导一种微观结构在其表面自组装成三角形镶嵌和斐波那契数图案。他们的论文由核/壳微观结构上的应力驱动的三角形和斐波那契数模式,发表在200585日的《科学》杂志上。曹则贤教授与中国科学院物理研究所的合作者,利用银核和氧化硅壳,研究直径约10微米的微结构中的应力。他们首先将Ag2OSiO2的混合物加热到1270k的衬底上,这个温度略高于银的熔点,但低于SiO2的熔点,然后让系统一步一步地冷却下来。研究人员发现,壳的收缩比内核小得多,因此壳上出现了凹凸不平的图案。这些凸起以不同的形式出现,大小和形状明显一致,这取决于主要支承面的几何形状。

通过操纵银核和二氧化硅壳构成的无机微结构上的应力产生了斐波那契螺旋图案。斐波那契模式的自发组合在实验室中很少被实现,科学家的结果表明,植物模式可能是由球形和锥形表面的相互排斥实体来模拟的。

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4 银核和二氧化硅壳构成的无机微结构上的应力产生了斐波那契螺旋图案(参考资料[4])

DNA发现的黄金分割比

DNA即脱氧核糖核酸,是染色体主要组成成分,同时也是主要遗传物质。人体内的每个细胞都含有九十二条DNA链(共有二十三对染色体,共四十六条,每对染色体由两条DNA链组成)。细胞中的DNA呈双链螺旋,称为B-DNA。这个DNA的螺旋结构中有一个双槽(图5-A),主槽(Major groove)和次槽(Minor groove)的比值,大约是21埃对13埃,比值近似于φ。它的双螺旋螺旋的每一个完整周期测量34埃长21埃宽。34和21当然是斐波那契数列中的连续的两个数,它们的比值,1.6190476非常接近φ,1.6180339。

DNA横截面的图像(图5-B),揭示了一个清晰的10边几何学,一个十角形的基础。一个十边形本质上是两个五边形(图5-C和D),其中一个与另一个旋转36度,因此双螺旋的每个螺旋必须描绘出一个五边形的形状。五边形的对角线与边的比值是φ。所以,不管从哪个角度看它,哪怕是最小的元素,DNA和生命,都是用φ和黄金分割构造的。

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5 DNA中的斐波那契数(参考资料[5])

在量子世界中发现的黄金分割比

欧洲著名物理研究机构HZB研究团队,与牛津大学等研究机构的同事合作,首次观测到隐藏在固态物质中的纳米对称性。他们测量了对称性的特征,显示出著名的黄金分割比相同的属性。2010年1月8日在《科学》杂志上发表这些发现。

在原子尺度上,粒子的行为不像我们在宏观原子世界中所知道的那样。新特性的出现是海森堡测不准原理的结果。研究人员观察到原子链就像一根纳米级的吉他弦。来自自旋之间的相互作用,导致它们产生磁共振。对于这些相互作用,他们发现了一系列的共振音符:前两个音符显示出完美的相互关系,频率(音调)是1.618…,这是著名的黄金分割比,它反映了量子系统的一个美丽特性——隐藏的对称性。

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6 磁场用于将自旋链调整到量子临界状态(参考资料[6])

拓扑量子计算(Topological quantum computingTQC)是一种新型的量子计算,它使用粒子轨道的辫子,而不是离子和电子等实际粒子作为量子比特来实现计算。使用编织有一个重要的优点:它使TQCs实际上不受环境中的小扰动的影响,这些扰动会导致基于粒子的量子位的退相干,并且常常导致高错误率。

斐波那契任意子与著名的斐波那契数列(数列中的一个数是前两个数的和)以及黄金分割比1.618…(这是斐波那契数列中任何数与前一个数的近似比率)有关。这些数学模式出现在斐波那契任意子中,是因为它的量子特性,特别是那些与控制粒子自旋的所谓聚变规则有关的特性(参考资料[7])。

螺旋星系

对于螺旋星系,也可以观察到斐波那契螺旋。我们自己的银河系就是这样一个天体。银河系中的某些其他实体也表现出黄金分割比。它是在土星和土星环直径的比值中发现的。它也是金星和地球与太阳距离的比值。有趣的是,这两颗行星的转速之比也得出了黄金分割比。

黄金螺旋是基于黄金分割比。黄金螺旋总是以这个比例增加——螺旋每转四分之一圈,它就会变宽一倍φ。在这里,黄金螺旋正好与螺旋星系相吻合。

银河系有许多旋臂,围绕着一个厚度约为10000光年的中心核心。每个旋臂都有大约12度的对数螺旋。螺旋的形状和黄金螺旋是一样的,黄金矩形可以画在任何螺旋星系上。

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7 银河系是螺旋星系

狭义相对论中的黄金分割比

委内瑞拉委内瑞拉研究中心莱昂纳多·迪·西格洛蒂(Leonardo Di G. Sigalotti)在论文《The golden ratio in special relativity(狭义相对论中的黄金分割比)》(参考资料[8])证明了黄金矩形可以用来导出爱因斯坦狭义相对论所预言的时间间隔的扩张和长度的洛伦兹收缩。在这个研究中,洛伦兹因子是毕达哥拉斯定理的一个直接结果,而黄金分割比φ,被发现支配着从牛顿物理到相对论力学的转变。

黄金分割比与黑洞

1958年,美国物理学家大卫·芬克尔斯坦(David Finklestein)将黑洞描述为太空中引力如此强大,以至于连光都无法逃脱的区域。据信,它们发生在大质量恒星坍缩时,吞下其他恒星并与其他黑洞合并后,它们变成超大质量恒星。许多物理学家认为,这些巨大的、超大的黑洞存在于包括我们银河系在内的大多数星系的中心,多年来科学家试图用数学描述黑洞独特而强大的物理性质,包括它们的质量和角动量(即旋转速度)。

1989年,英国天体物理学家保罗·戴维斯(Paul Davies)提出,在旋转黑洞从一种状态到另一种状态的过渡点上,存在一种基于φ(黄金分割比)的关系,例如,当黑洞从失去能量的加热状态转变为冷却状态时。具体来说,他声称,当其质量的平方等于其角动量的平方的1/φ倍时,就会发生这种转变(参考资料[9])。但是,也有其他物理学家对他的发现提出了质疑。

2011年,墨西哥锡那罗亚自治大学的J. A. 涅托(J.A.Nieto)在发表的一篇研究论文中,揭示了黑洞与黄金分割率之间惊人的联系,他试图在更高的维度上描述黑洞的特性。具体来说,在描述四维黑洞时,他揭示了一个通过计算行列式找到特征值的方程:

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涅托立刻认识到了这个黄金分割比φ的著名的方程,除了正式建立了黄金分割率和黑洞之间的联系外,还帮助澄清了黑洞视界的特征,即大质量物体的引力变得如此之大,以至于外界的物质和辐射可一旦进入视界,就再也无法逃逸。(参考资料[10])。

一个量子引力研究研究机构(QGR)声称,黄金分割率可能是自然界的基本常数(图8)。“……它在宇宙中无处不在,从量子尺度到天体尺度,无处不在。…它出现在黑洞里。黄金比率是黑洞的修正比热从正变为负的精确点。φ=(M^4)/(J^2)…它是黑洞熵下限方程的一部分。黄金比率甚至将环量子引力参数与黑洞熵联系起来。φ=2^(π𝛾)…为什么这支持黄金分割率是自然基本常数的说法?因为万物理论必须把广义相对论和量子力学结合起来,黑洞是这两种理论在极限处会合的地方。”(参考资料[11])

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图8 黄金分割比与黑洞(参考资料[11])

2017年,智利圣地亚哥大学的诺曼·克鲁兹(Norman Cruz)、马可·奥利瓦雷斯(Marco Olivares)和维拉努瓦(J.R.Villanueva)在论文《The Golden Ratio in Schwarzschild-Kottler Black Holes(施瓦茨柴尔德-科特勒黑洞中的黄金比率)》中,证明了黑洞内粒子运动中出现了φ,特别是以最大径向加速度运行的两个光子之间的最远距离和最近距离之比(参考资料[12])

时空的拓扑结构

南非比勒陀利亚大学的扬·博伊恩斯(Jan Boeyens)博士和威特沃特斯兰德大学的弗朗西斯·萨克里博士共同研究表明:黄金分割比也可在时空的拓扑结构中发现,而且这一比率可能决定了宇宙中特定事物的成形。博伊恩斯特别指出,螺旋的形状也符合黄金分割率。这表明,宇宙中的几何形状最终还是服从这个数学属性。研究人员称,黄金分割率之所以无处不在,是因为它是一个时空特性。博伊恩斯的这篇论文标题是《数论与科学的统一Number theory and the unity of science》(参考资料[13]),文中指出,“假定黄金分割率具有宇宙属性,最具说服力的例子是无处不在的对数螺线。”突出的例子有漩涡星系(M51)、菊石、鹦鹉螺贝壳、卡特里娜飓风以及太阳系中行星、卫星、小行星和行星环的分布。文中并附有如下图片(图9)。

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图9 在自然发现的对数螺旋的例子:(从左到右)漩涡星系,鹦鹉螺壳,飓风卡特里娜和菊石,引用参考资料[12]

结语

许多人基于观察认为,黄金分割比,以及它的有理形式,斐波那契序列,在自然界中以各种方式出现,例如花瓣、种子头、松果、贝壳、飓风、面孔、DNA分子,甚至于黑洞。

观察,不同的观点,有不同的看法。例如,对于自然界的斐波那契序列和黄金分割比,斯坦福大学教授基思·德夫林(Keith Devlin)说:“让我们这样说吧,这不是‘上帝的唯一法则’”。他说,也许最著名的例子是被称为鹦鹉螺(nautilus)的贝壳,它实际上并没有按照斐波那契序列生长出新的细胞。关于德夫林的观点,在下一篇博文中,还会将讨论。

除了观察,更应该重视实验和理论研究。自然界中的斐波那契数列和黄金分割比研究进展中,令人印象最为深刻的是:中国科学院的无机微结构上的应力实验产生了斐波那契螺旋图案(参考资料[4]),欧洲著名物理研究机构HZB研究团队的在量子世界中发现的黄金分割比(参考资料[6]),以及墨西哥锡那罗亚自治大学在黑洞与黄金分割比联系研究的报导(参考资料[10])。

最后还值得一提的是,中国科学院空间应用工程与技术中心客座教授弗拉基米尔·普莱泽(Vladimir Pletser)的文章《生物学、物理学、天体物理学、化学和技术中的斐波那契数和黄金分割比:一个非详尽的综述(Fibonacci Numbers and the Golden Ratio in Biology, Physics, Astrophysics, Chemistry and Technology: A Non-Exhaustive Review)》列举了一系列学科研究领域。正如文章所说的:“斐波那契数和黄金分割比几乎可以在所有科学领域中找到”,文中给出了几个例子包括:生物学(自然和人工叶序、遗传密码和DNA)、物理学(氢键、混沌、超导电性)、天体物理学(脉动星、黑洞)、化学(准晶、蛋白质AB模型)和技术(摩擦学、电阻、量子计算、量子相变、光子学)(参考资料[14])。

参考资料

[1] Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Fabulous Fibonacci Numbers.Prometheus Books.2007

[2] Roger V. Jean. Phyllotaxis: A Systemic Study in Plant Morphogenesis. CAMBRIDGE University Press, 2007.

[3] Sudipta Sinha.The Fibonacci Numbers and Its Amazing Applications.International Journal of Engineering Science Invention.Volume 6 Issue 9,September 2017

[4] Fibonacci series on microstructures.

https://phys.org/news/2005-08-fibonacci-series-microstructures.html

[5] Gary Meisner. DNA spiral as a Golden Section.May 13, 2012

https://www.goldennumber.net/dna/

[6] Helmholtz Association of German Research Centres. Golden ratio discovered in a quantum world

https://phys.org/news/2010-01-golden-ratio-quantum-world.html

[7] Lisa Zyga. Fibonacci quasiparticle' could form basis of future quantum computers

https://phys.org/news/2014-12-fibonacci-quasiparticle-basis-future-quantum.html

[8] Leonardo Sigalot. The golden ratio in special relativity. Chaos Solitons & Fractals 30(3).November 2006

[9] P. C. W. Davies, “Thermodynamic phase transitions of Kerr-Newman black holes in de Sitter space,” Classical and Quantum Gravity 6, no. 12 (1989): 1909-1914. DOI: 10.1088/0264-9381/6/12/018.

[10] J.A. Nieto. A link between black holes and the golden ratio. 2011.

https://arxiv.org/abs/1106.1600v1.

[11] Gary Meisner. Quantum Gravity, Reality and the Golden Ratio. October 21, 2020.

https://www.goldennumber.net/quantum-gravity-reality-golden-ratio/

[12] N. Cruz, M. Olivares, & J. R. Villanueva, The Golden Ratio in Schwarzschild-Kottler Black Holes . European Physical Journal C, no 77 (2017): 123.

[13] Jan BoeyensFrancis Thackeray. Number theory and the unity of science. the South African Journal of Science (SAJS). 26 November 2014.

[14]Vladimir Pletser. Fibonacci Numbers and the Golden Ratio in Biology, Physics, Astrophysics, Chemistry and Technology: A Non-Exhaustive Review




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