一、设 $A$ 为正常数, 直线 $L$ 与双曲线 $x^2-y^2=2 (x>0)$ 所围成的有限部分的面积为 $A$. 证明:

1. 上述 $L$ 被双曲线 $x^2-y^2=2 (x>0)$ 所截线段的中点的轨迹为双曲线;

2. $L$ 总是 (1) 中轨迹曲线的切线.

二、设函数 $f(x)$ 满足条件:

1. $f:[a,b]to [a,b]$, 其中 $-infty<a<b<infty$;

2. 存在常数 $0<L<1$ 使得 $|f(x)-f(y)|leq L|x-y|,quad forall x,yin [a,b]. $ 设 $x_1in[a,b]$, 令 $x_{n+1}=frac{1}{2}[x_n+f(x_n)], n=1,2,cdots$. 证明: $lim_{ntoinfty}x_n=x$ 存在, 且 $f(x)=x$.

三、设实 $n$ 阶方阵 $A$ 的每个元素的绝对值为 $2$. 证明: 当 $ngeq 3$ 时, [|A|leqfrac{1}{3}cdot 2^{n+1}n!.]

四、设 $f(x)$ 为区间 $(a,b)$ 上的可导函数. 对 $x_0in (a,b)$, 若存在 $x_0$ 的领域 $U$ 使得对任意的 $xin Ubackslash {x_0}$ 都有 $f(x)>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, 则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的凹点; 类似地, 若存在 $x_0$ 的领域 $U$ 使得对任意的 $xin Ubackslash {x_0}$ 都有 $f(x)<f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, 则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的凸点. 求证: 若 $f(x)$ 是区间 $(a,b)$ 上的二次可微函数, 且不是一次函数, 则 $f(x)$ 一定存在凹点或凸点.

五、设 

[A=left[begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{array}right]] 为实对称矩阵, $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 记
[f(x_1,x_2,x_3,x_4)=mathrm{det}left[begin{array}{cccc}x_1^2&x_2&x_3&x_4\-x_2&a_{11}&a_{12}&a_{13}\-x_3&a_{21}&a_{22}&a_{23}\-x_4&a_{31}&a_{32}&a_{33}end{array}right].] 若 $|A|=-12$, $A$ 的特征值的和为 $1$, 且 $(1,0,-2)^t$ 为 $(A^*-4I)x=0$ 的一个解. 试给出一正交变换 [left[begin{array}{c}x_1\x_2\x_3\x_4end{array}right]=Q left[begin{array}{c}y_1\y_2\y_3\y_4end{array}right],] 使得 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 化为标准型.

六、令 $mathbb{R}$ 为实数域, $n$ 为给定的正整数, $A$ 表示所有 $n$ 次首一实系数多项式组成的集合. 证明: [inf_{binmathbb{R}, c>0, P(x)in A}frac{1}{c^{n+1}}int_b^{b+c}|P(x)|mathrm{d}x>0.]

参考解答见:

第一题：http://bbs.sciencenet.cn/thread-1153879-1-1.html

第二题：http://bbs.sciencenet.cn/thread-1153880-1-1.html

第三题：http://bbs.sciencenet.cn/thread-1153881-1-1.html

第四题：http://bbs.sciencenet.cn/thread-1153882-1-1.html

第五题：http://bbs.sciencenet.cn/thread-1153883-1-1.html

第六题：http://bbs.sciencenet.cn/thread-1153884-1-1.html